《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

例1 如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE相交于点F,若BF= AC,则∠ABC等于( )。

A.40°
B.45°
C.50°
D.60°

思路点拨 先利用AAS判定△BDF≌△ADC,从而得出BD= DA,即△ABD为等腰直角三角形,于是可求出∠ABC的大小。
解题过程 ∵AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,∴∠BEA= ∠ADC= 90°。∵∠FBD+∠BFD= 90°,∠AFE+∠FAE= 90°,∠BFD= ∠AFE,∴∠FBD= ∠FAE。在△BDF和△ADC中,$\begin{cases} \angle FDB= \angle CDA, \\ \angle FBD= \angle CAD, \\ BF= AC, \end{cases} $∴△BDF≌△ADC(AAS)。∴BD= AD。∴∠ABC= ∠BAD= 45°。故选B。
方法归纳 本题考查直角三角形全等的判定方法和等腰直角三角形的性质,判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS,SAS,ASA,AAS,HL。
易错误区 AAA,SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角。

答案： 解：
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠AEB=90°。
∵∠BFD+∠FBD=90°，∠AFE+∠FAE=90°，∠BFD=∠AFE，
∴∠FBD=∠FAE。
在△BDF和△ADC中，
$\begin{cases} \angle FBD = \angle CAD \\\angle BDF = \angle ADC \\BF = AC \end{cases}$
∴△BDF≌△ADC（AAS）。
∴BD=AD。
∵AD⊥BC，
∴∠ABC=∠BAD=45°。
故选B。

例2 如图,在△ACB中,∠ACB= 90°,CD⊥AB于点D。
(1)求证：∠ACD= ∠B。
(2)若AF平分∠CAB分别交CD,BC于点E,F,求证：CE= CF。

思路点拨 (1)由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角,根据同角的余角相等即可得证。(2)根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA= 90°-∠CAF,∠AED= 90°-∠DAE,再根据角平分线的定义得出∠CAF= ∠DAE,然后由对顶角相等的性质,等量代换即可证明∠CEF= ∠CFE,再由等角对等边可得CE= CF。
解题过程 (1)∵∠ACB= 90°,CD⊥AB于点D,∴∠ACD+∠BCD= 90°,∠B+∠BCD= 90°。∴∠ACD= ∠B。
(2)在Rt△AFC中,∠CFA= 90°-∠CAF,在Rt△AED中,∠AED= 90°-∠DAE。∵AF平分∠CAB,∴∠CAF= ∠DAE。∴∠AED= ∠CFE。又∵∠CEF= ∠AED,∴∠CEF= ∠CFE。∴CE= CF。
方法归纳 本题考查了直角三角形的性质、三角形角平分线的定义、对顶角的性质、余角的性质,难度适中。
易错误区 题(2)中证明∠CEF= ∠CFE需要利用角平分线及直角三角形两锐角互余等性质进行等角的转化,有一定的难度。

答案： 【解析】：
(1)这一问要求证明$\angle ACD=\angle B$，考查的是直角三角形的性质，在直角三角形中，两个锐角互余，同时，同角的余角相等，通过这两个性质来证明两个角相等。
(2)这一问要求证明$CE = CF$，需要利用直角三角形两锐角互余、角平分线的定义以及对顶角相等的性质，通过等量代换证明$\angle CEF=\angle CFE$，再根据等角对等边得出$CE = CF$。
【答案】：
(1)证明：
∵$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$于点$D$，
∴$\angle ACD+\angle BCD = 90^{\circ}$，$\angle B+\angle BCD = 90^{\circ}$。
∴$\angle ACD=\angle B$。
(2)证明：
在$Rt\triangle AFC$中，$\angle CFA = 90^{\circ}-\angle CAF$，
在$Rt\triangle AED$中，$\angle AED = 90^{\circ}-\angle DAE$。
∵$AF$平分$\angle CAB$，
∴$\angle CAF=\angle DAE$。
∴$\angle AED=\angle CFE$。
又
∵$\angle CEF=\angle AED$，
∴$\angle CEF=\angle CFE$。
∴$CE = CF$。