《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

1.如图,在△ABC中,∠BAC与∠BCA的平分线相交于点I,若∠B= 35°,BC= AI+AC,则∠BAC的度数为( )。

A.60°
B.70°
C.80°
D.90°

答案： B

2.如图,在△ABC中,AB= AC,点P,Q分别在AC,AB上,且AP= PQ= QC= BC,则∠A的大小是______。

答案： $\left( \frac{180}{7}\right)^{\circ }$

3.如图,在△ABC中,AC= BC＞AB,P为△ABC所在平面内一点,且点P与△ABC的任意两个顶点构成的△PAB,△PBC,△PAC均是等腰三角形,则满足上述条件的所有点P的个数为______。

答案： 6

4.如图,在△ABC中,∠BAC= 60°,∠C= 40°,点P,Q分别在BC,CA上,AP,BQ分别是∠BAC,∠ABC的平分线。求证：BQ+AQ= AB+BP。

答案：
如图,延长AB到点D,使BD=BP,连结PD,则∠D=∠5。
∵AP,BQ分别是∠BAC,∠ABC的平分线,∠BAC=60°,∠ACB=40°,
∴∠1=∠2=30°,∠ABC=180° - 60° - 40°=80°。
∴∠3=∠4=40°=∠C。
∴QB=QC。又
∵∠D+∠5=∠3+∠4=80°,
∴∠D=40°。在△APD和△APC中,$\left\{\begin{array}{l} ∠D=∠C,\\ ∠2=∠1,\\ AP=AP,\end{array}\right. $
∴△APD≌△APC(AAS)。
∴AD=AC,即AB+BD=AQ+QC。
∴AB+BP=BQ+AQ。