《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

14. 例：如图1,平面直角坐标系$xOy中有点B(2,3)和C(5,4)$,求$\triangle OBC$的面积。
解：过点$B作BD⊥x轴于点D$,过点$C作CE⊥x轴于点E$。依题意,可得$S_{\triangle OBC}= S_{梯形BDEC}+S_{\triangle OBD}-S_{\triangle OCE}= \frac{1}{2}(BD+CE)(OE-OD)+\frac{1}{2}OD\cdot BD-\frac{1}{2}OE\cdot CE= \frac{1}{2}×(3+4)×(5-2)+\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×5×4= 3.5$。∴$\triangle OBC$的面积为3.5。
(1)如图2,若$B(x_1,y_1)$,$C(x_2,y_2)$均为第一象限的点,$O$,$B$,$C$三点不在同一条直线上。仿照例题的解法,求$\triangle OBC$的面积(用含$x_1$,$x_2$,$y_1$,$y_2$的代数式表示)。
(2)如图3,若三个点的坐标分别为$A(2,5)$,$B(7,7)$,$C(9,1)$,求四边形$OABC$的面积。

答案：
(1)过点B作BD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E,则S△OBC=S梯形BCED+S△OBD - S△OCE=$\frac{1}{2}$(y₁+y₂)(x₂ - x₁)+$\frac{1}{2}$x₁y₁ - $\frac{1}{2}$x₂y₂=$\frac{1}{2}$(x₂y₁ - x₁y₂)。
∴△OBC的面积为$\frac{1}{2}$(x₂y₁ - x₁y₂)。
(2)连结OB,则有S四边形OABC=S△OAB+S△OBC=$\frac{1}{2}$×(7×5 - 2×7)+$\frac{1}{2}$×(9×7 - 7×1)=38.5。
∴四边形OABC的面积为38.5。