《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

例 已知直线MN与直线PQ垂直相交于点O,点A在直线PQ上运动,点B在直线MN上运动。

(1)如图1,已知AE,BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线,点A,B在运动的过程中,∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化,请说明变化的情况；若不发生变化,试求出∠AEB的大小。
(2)如图2,已知AB不平行于CD,AD,BC分别是∠BAP和∠ABM的平分线,DE,CE分别是∠ADC和∠BCD的平分线,点A,B在运动的过程中,∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化,请说明理由；若不发生变化,试求出其值。
(3)如图3,延长BA至点G,已知∠BAO,∠OAG的平分线分别与∠BOQ的平分线及反向延长线相交于点E,F,在△AEF中,有一个角是另一个角的3倍,请直接写出∠ABO的度数。
思路点拨
(1)根据直线MN与直线PQ垂直相交于点O可知∠AOB= 90°,由AE,BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线得出∠BAE= $\frac{1}{2}$∠BAO,∠ABE= $\frac{1}{2}$∠ABO,由三角形内角和定理即可得出结论。(2)延长AD,BC交于点F,根据直线MN与直线PQ垂直相交于点O可得出∠AOB= 90°,进而得出∠BAO+∠ABO= 90°,故∠BAP+∠ABM= 270°,由AD,BC分别是∠BAP和∠ABM的平分线,可知∠BAD= $\frac{1}{2}$∠BAP,∠ABC= $\frac{1}{2}$∠ABM,由三角形内角和定理可知∠F= 45°,再根据DE,CE分别是∠ADC和∠BCD的平分线可知∠CDE+∠DCE= 112.5°,进而可得出结论。(3)由∠BAO与∠BOQ的平分线相交于点E可知∠EAO= $\frac{1}{2}$∠BAO,∠EOQ= $\frac{1}{2}$∠BOQ,进而得出∠E= ∠EOQ-∠EAO= $\frac{1}{2}$(∠BOQ-∠BAO)= $\frac{1}{2}$∠ABO,由AE,AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线可知∠EAF= 90°,在△AEF中,一个角是另一个角的3倍,则需分四种情况进行分类讨论。
解题过程
(1)∠AEB的大小不变。∵直线MN与直线PQ垂直相交于点O,∴∠AOB= 90°。∴∠BAO+∠ABO= 90°。∵AE,BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线,∴∠BAE= $\frac{1}{2}$∠BAO,∠ABE= $\frac{1}{2}$∠ABO。∴∠BAE+∠ABE= $\frac{1}{2}$(∠BAO+∠ABO)= 45°。∴∠AEB= 135°。
(2)∠CED的大小不变。如图4,延长AD,BC交于点F。

∵直线MN与直线PQ垂直相交于点O,∴∠AOB= 90°。∴∠BAO+∠ABO= 90°。∴∠BAP+∠ABM= 270°。∵AD,BC分别是∠BAP和∠ABM的平分线,∴∠BAD= $\frac{1}{2}$∠BAP,∠ABC= $\frac{1}{2}$∠ABM。∴∠BAD+∠ABC= $\frac{1}{2}$(∠BAP+∠ABM)= 135°。∴∠F= 45°。∴∠FDC+∠FCD= 135°。∴∠CDA+∠DCB= 225°。∵DE,CE分别是∠ADC和∠BCD的平分线,∴∠CDE= $\frac{1}{2}$∠CDA,∠DCE= $\frac{1}{2}$∠DCB。∴∠CDE+∠DCE= $\frac{1}{2}$(∠CDA+∠DCB)= 112.5°。∴∠CED= 67.5°。
(3)∵∠BAO与∠BOQ的平分线相交于点E,∴∠EAO= $\frac{1}{2}$∠BAO,∠EOQ= $\frac{1}{2}$∠BOQ。∴∠E= ∠EOQ-∠EAO= $\frac{1}{2}$(∠BOQ-∠BAO)= $\frac{1}{2}$∠ABO。∵AE,AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线,∴∠EAF= 90°。在△AEF中,有一个角是另一个角的3倍,则：①当∠EAF= 3∠E时,∠E= 30°,此时∠ABO= 60°；②当∠EAF= 3∠F时,∠E= 60°,此时∠ABO= 120°(不合题意,舍去)；③当∠F= 3∠E时,∠E= 22.5°,此时∠ABO= 45°；④当∠E= 3∠F时,∠E= 67.5°,此时∠ABO= 135°(不合题意,舍去)。∴∠ABO的度数为60°或45°。
方法归纳
本题考查了三角形内角和定理,解题思路是将角度的计算转化为三角形中内角之间的关系,同时结合角平分线的定义研究角之间的数量关系。熟知三角形内角和是180°是解答本题的关键。
易错误区
本题图形比较复杂,要认真研究图形,注意各个小题之间图形的变化,题(3)还要根据图形的变化进行分类讨论。

答案： 【解析】：
（1）题目考查了三角形内角和定理及角平分线的性质。
根据直线$MN$与直线$PQ$垂直相交于点$O$，可得$\angle AOB = 90^\circ$。
因为$AE$、$BE$分别是$\angle BAO$和$\angle ABO$的平分线，所以$\angle BAE=\frac{1}{2}\angle BAO$，$\angle ABE=\frac{1}{2}\angle ABO$。
由三角形内角和定理，$\angle AEB=180^\circ-(\angle BAE + \angle ABE)=180^\circ-\frac{1}{2}(\angle BAO + \angle ABO)=135^\circ$。
因此，$\angle AEB$的大小不发生变化，为$135^\circ$。
（2）题目考查了三角形内角和定理及外角性质，以及角平分线的性质。
延长$AD$、$BC$交于点$F$。
由直线$MN$与直线$PQ$垂直相交于点$O$，得$\angle AOB = 90^\circ$，则$\angle BAO + \angle ABO = 90^\circ$，所以$\angle BAP + \angle ABM = 270^\circ$。
因为$AD$、$BC$分别是$\angle BAP$和$\angle ABM$的平分线，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAP$，$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle ABM$。
从而$\angle BAD + \angle ABC =\frac{1}{2}(\angle BAP + \angle ABM)=135^\circ$。
在$\triangle ABF$中，$\angle F = 45^\circ$，所以$\angle FDC + \angle FCD = 135^\circ$，则$\angle CDA + \angle DCB = 225^\circ$。
又因为$DE$、$CE$分别是$\angle ADC$和$\angle BCD$的平分线，所以$\angle CDE=\frac{1}{2}\angle CDA$，$\angle DCE=\frac{1}{2}\angle DCB$。
因此，$\angle CDE + \angle DCE =\frac{1}{2}(\angle CDA + \angle DCB)=112.5^\circ$。
在$\triangle CDE$中，$\angle CED = 67.5^\circ$。
所以，$\angle CED$的大小不发生变化，为$67.5^\circ$。
（3）题目考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，以及分类讨论的数学思想。
由$\angle BAO$与$\angle BOQ$的平分线相交于点$E$，可得$\angle EAO=\frac{1}{2}\angle BAO$，$\angle EOQ=\frac{1}{2}\angle BOQ$。
根据三角形外角性质，$\angle E=\angle EOQ - \angle EAO=\frac{1}{2}(\angle BOQ - \angle BAO)=\frac{1}{2}\angle ABO$。
因为$AE$、$AF$分别是$\angle BAO$和$\angle OAG$的平分线，所以$\angle EAF = 90^\circ$。
在$\triangle AEF$中，一个角是另一个角的$3$倍，需分四种情况进行讨论：
当$\angle EAF = 3\angle E$时，$\angle E = 30^\circ$，此时$\angle ABO = 60^\circ$；
当$\angle EAF = 3\angle F$时，$\angle E = 60^\circ$，此时$\angle ABO = 120^\circ$（不合题意，舍去）；
当$\angle F = 3\angle E$时，$\angle E = 22.5^\circ$，此时$\angle ABO = 45^\circ$；
当$\angle E = 3\angle F$时，$\angle E = 67.5^\circ$，此时$\angle ABO = 135^\circ$（不合题意，舍去）。
综上，$\angle ABO$的度数为$60^\circ$或$45^\circ$。
【答案】：
(1) $\angle AEB$的大小不变，$\angle AEB = 135^\circ$；
(2) $\angle CED$的大小不变，$\angle CED = 67.5^\circ$；
(3) $\angle ABO$的度数为$60^\circ$或$45^\circ$。