《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

1.【扬州】如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,CD⊥AB于点D,CE平分∠ACD交AB于点E,则下列结论一定成立的是( )。
A. BC= EC B. EC= BE C. BC= BE D. AE= EC

答案： C

2.【淄博】如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN//BC交AC于点N,且MN平分∠AMC。若AN= 1,则BC的长为( )。
A. 4 B. 6 C. $4\sqrt{3}$ D. 8

答案： B

3.【黔南州】如图,在△ABC中,∠C= 90°,∠B= 30°,AB的垂直平分线ED交AB于点E,交BC于点D。若CD= 3,则BD的长为______。

答案： 6

4.【青岛】如图,在四边形ABCD中,∠ABC= ∠ADC= 90°,E为对角线AC的中点,连结BE,ED,BD。若∠BAD= 58°,则∠EBD的度数为______°。

答案： 32

5. 如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB= 90°,AC= BC,点D,E分别在边AB,CB上,CD= DE,∠CDB= ∠DEC,过点C作CF⊥DE于点F,交AB于点G。求证：
(1)AD= BE。
(2)△CDG为等腰三角形。

答案：
(1)
∵∠CDB=∠DEC,
∴∠ADC=∠BED。
∵AC=BC,
∴∠A=∠B。
在△ACD和△BDE中,
∵$\left\{\begin{array}{l} ∠A=∠B,\\ ∠ADC=∠BED,\\ CD=DE, \end{array}\right.$
∴△ACD≌△BDE(AAS)。
∴AD=BE。
(2)由
(1)知△ACD≌△BDE,
∴∠ACD=∠BDE。
∵在Rt△ACB中,AC=BC,
∴∠A=∠B=45°。
∴∠CDG=45°+∠ACD,∠CGD=45°+∠BCG。
∴∠CDF=45°。
∵CF⊥DE,
∴∠DFC=90°。
∴∠DCF=45°。
∵CD=DE,
∴∠DCE=∠DEC。
∵∠DCE=∠DCF+∠BCG=45°+∠BCG,∠DEC=∠B+∠BDE=45°+∠BDE,
∴∠BCG=∠BDE。
∴∠ACD=∠BCG。
∴∠CDG=∠CGD。
∴CD=CG。
∴△CDG为等腰三角形。