《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

11. 如图,∠ABC= 90°,∠DBE= 90°,AB= BC,BD= BE,连结AE,CD,AE所在的直线交CD于点F,连结BF。
(1)如图1,连结AD,EC,求证：AD= EC。
(2)如图2,若BF⊥AF,求证：F为CD的中点。

答案：

(1)
∵∠ABC=90°,∠DBE=90°,
∴∠ABD=∠CBE。又
∵AB=BC,BD=BE,
∴△ABD≌△CBE。
∴AD=EC。
(2)如图,作CP⊥BF交BF的延长线于点P,作DN⊥BF于点N。
∵∠ABC=90°,BF⊥AF,
∴∠ABF+∠A=90°,∠ABF+∠PBC=90°。
∴∠A=∠PBC。
∵AB=BC,∠P=∠AFB=90°,
∴△ABF≌△BCP。
∴BF=CP。
∵∠DBN+∠EBF=90°,∠DBN+∠BDN=90°,
∴∠BDN=∠EBF。
∵∠DNB=∠BFE=90°,BD=BE,
∴△DNB≌△BFE。
∴DN=BF=CP。
∵∠DNF=∠CPF,∠NFD=∠PFC,
∴△NFD≌△PFC。
∴DF=FC,即F是CD的中点。

12. 如图,已知△ABC中,AB= AC= 10 cm,BC= 8 cm,点D为AB的中点。
(1)如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动。
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1 s后,△BPD与△CQP是否全等？请说明理由。
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等？
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都沿三边逆时针运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在哪条边上相遇。

答案：
(1)①
∵t=1,
∴BP=CQ=3×1=3。
∵AB=10,点D为AB的中点，
∴BD=5。
又
∵PC=BC−BP,BC=8,
∴PC=8−3=5。
∴PC=BD。又
∵AB=AC,
∴∠B=∠C。
∴△BPD≌△CQP。
②
∵$v_{P}≠v_{Q}$,
∴BP≠CQ。
又
∵△BPD≌△CPQ,∠B=∠C,
∴BP=PC=4,CQ=BD=5。
∴点P,Q运动的时间$t=\frac{BP}{3}=\frac{4}{3}$(s)。
∴$v_{Q}=\frac{CQ}{t}=5÷\frac{4}{3}=\frac{15}{4}$(cm/s)。
(2)设经过x(s)后点P与点Q第一次相遇。
由题意得$\frac{15}{4}x=3x+2×10$,解得$x=\frac{80}{3}$。
∴点P共运动了$\frac{80}{3}$×3=80(cm)。
∵80=2×28+24,
∴点P,Q在AB边上相遇。
∴经过$\frac{80}{3}$s点P与点Q第一次在AB边上相遇。