《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

例3 如图,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,∠ABC= ∠ADE= 90°,BC与DE相交于点F,连结CD,EB。
(1)图中还有几对全等三角形,请你一一列举。
(2)求证：CF= EF。

思路点拨
(1)可以从条件出发,根据图形特征,利用全等三角形知识进行探索。(2)实际上就是要求证明(1)中列举出来的与CF,EF有关的那组全等三角形。
解题过程
(1)△ADC≌△ABE,△CDF≌△EBF。
(2)∵Rt△ABC≌Rt△ADE,∴AC= AE,AB= AD,∠CAB= ∠EAD。
∴∠CAB-∠DAB= ∠EAD-∠DAB,即∠CAD= ∠EAB。
∴△ACD≌△AEB。∴CD= EB,∠ADC= ∠ABE。
又∵∠ADE= ∠ABC,∴∠CDF= ∠EBF。
又∵∠DFC= ∠BFE,∴△CDF≌△EBF。∴CF= EF。
方法归纳
第(1)题属于结论探究题型,难在要求一一列举出其中的全等三角形,蕴含多解且要求全部找出来,需要具备很好的分辨图形能力和逻辑分析能力。
易错误区
找全等三角形时,结合图形的轴对称性找可以避免遗漏。

答案： 【解析】：
（1）考查全等三角形的判断，通过观察图形结合题目条件利用全等三角形判定定理寻找全等三角形。
（2）证明$CF = EF$，需要证明包含$CF$和$EF$的三角形全等，通过已知条件$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle ADE$，利用全等三角形性质得到对应边相等和对应角相等，再结合对顶角相等，从而证明$\triangle CDF\cong\triangle EBF$，进而得到$CF = EF$。
【答案】：
(1)解：还有两对全等三角形，分别为$\triangle ADC\cong\triangle ABE$，$\triangle CDF\cong\triangle EBF$。
(2)证明：
∵$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle ADE$，
∴$AC = AE$，$AB = AD$，$\angle CAB = \angle EAD$。
∴$\angle CAB - \angle DAB = \angle EAD - \angle DAB$，即$\angle CAD = \angle EAB$。
在$\triangle ACD$和$\triangle AEB$中，
$\begin{cases}AC = AE\\\angle CAD = \angle EAB\\AD = AB\end{cases}$
∴$\triangle ACD\cong\triangle AEB(SAS)$。
∴$CD = EB$，$\angle ADC = \angle ABE$。
又
∵$\angle ADE = \angle ABC = 90^{\circ}$，
∴$\angle ADC + \angle CDF = \angle ABE + \angle EBF = 90^{\circ}$，
∴$\angle CDF = \angle EBF$。
又
∵$\angle DFC = \angle BFE$，
在$\triangle CDF$和$\triangle EBF$中，
$\begin{cases}\angle CDF = \angle EBF\\\angle DFC = \angle BFE\\CD = EB\end{cases}$
∴$\triangle CDF\cong\triangle EBF(AAS)$。
∴$CF = EF$。

例4 在△ABC中,∠ACB= 90°,AC= BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E。

(1)当直线MN绕点C旋转到如图所示位置时,求证：DE= AD+BE。
(2)当直线MN绕点C旋转到与线段AB相交(交点不是AB中点)时,画出相应的图形,探求线段DE,AD与BE之间的等量关系,并写出其关系式。

思路点拨
(1)证明△ACD≌△CBE得到AD= CE,CD= BE,从而得到DE= AD+BE。(2)符合题意的情况有两种,分别画出图形,利用同样的方法证明△ACD≌△CBE,从而得到DE= AD-BE或DE= BE-AD。
解题过程
(1)∵AD⊥MN,BE⊥MN,∴∠ADC= ∠CEB= 90°。
∴∠ACD+∠CAD= 90°。
又∵∠ACB= 90°,∴∠ACD+∠BCE= 90°。
∴∠CAD= ∠BCE。
又∵AC= CB,∴△ACD≌△CBE(AAS)。
∴AD= CE,CD= BE。∴DE= CD+CE= AD+BE。


(2)当直线MN绕点C旋转到与线段AB相交(交点不是AB中点)时,相应的图形如图1、图2。

同(1)可得△ACD≌△CBE(AAS),
∴AD= CE,CD= BE。
∴图1中,DE= AD-BE；图2中,DE= BE-AD。
方法归纳
本题是直线的旋转问题,解题的关键是明确基本图形△ABC的始终不变性,而在直线MN旋转的过程中,我们可以探求变中相对不变的图形。利用图形中AC= BC的特征作为解题的切入点,很容易发现在变化过程中△ACD与△CBE始终全等,这点为“变”中“不变”,可以“动”中思“静”,也是求解该类题的核心。
易错误区
将线段和差关系转化为证明线段相等时,要注意线段对应关系不要混淆。

答案：
(1)证明：
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ADC=∠CEB\\ ∠CAD=∠BCE\\ AC=CB\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CD+CE，
∴DE=AD+BE；
(2)相应图形如下：
图1：
[图形描述：直线MN与AB相交，交点靠近B，D在AC左侧，E在BC右侧]
图2：
[图形描述：直线MN与AB相交，交点靠近A，D在AC右侧，E在BC左侧]
同
(1)可证△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
图1中，DE=AD-BE；
图2中，DE=BE-AD。