《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

例1 今年4月初,某地连续降雨导致该地某水库水位持续上涨,下表是该水库4月1日～4月4日的水位变化情况：
|日期$x$|1|2|3|4|
|水位$y(m)$|20.00|20.50|21.00|21.50|

(1)请建立该水库水位$y与日期x$之间的函数模型。
(2)请用求出的函数表达式预测该水库今年4月6日的水位。
(3)你能用求出的函数表达式预测该水库今年12月1日的水位吗？
思路点拨▶ (1)由表可知水库水位$y与日期x$之间的函数关系是一次函数,设$y= kx+b$,把$(1,20)和(2,20.5)代入求出k,b$的值即可。(2)把$x= 6$代入(1)中的函数表达式即可得到今年4月6日的水位。(3)不能,因为所建立的函数模型远离已知数据,作预测是不可靠的。
解题过程▶ (1)由表可知水库水位$y随日期x$的变化是均匀的,∴$y与x$之间的函数为一次函数。
设$y= kx+b$,把$(1,20)和(2,20.5)代入得\begin{cases}k+b= 20\\2k+b= 20.5\end{cases} $,解得$\begin{cases}k= 0.5\\b= 19.5\end{cases} $。∴$y= 0.5x+19.5$。
(2)当$x= 6$时,$y= 0.5×6+19.5= 22.5$。
(3)不能。理由如下：
∵12月远远大于4月,
∴所建立的函数模型远离已知数据,作预测是不可靠的。
方法归纳▶ 本题考查了一次函数的应用,能够利用待定系数法求出一次函数的表达式为解题的关键。
易错误区▶ 首先要能正确求得函数表达式,并能正确求函数值,其次要注意题(3)的问题要结合生活常识正确作答。

答案： 【解析】：
(1) 首先，观察给出的数据表，可以看到，随着日期$x$的增加，水位$y$也在均匀增加，因此可以判断$y$与$x$之间的关系是一次函数关系，可以设这个一次函数为$y = kx + b$。
选择两组数据，例如$(1, 20)$和$(2, 20.5)$，代入函数$y = kx + b$，可以得到一个关于$k$和$b$的二元一次方程组：
$\begin{cases}k + b = 20 \\2k + b = 20.5\end{cases}$
解这个方程组，可以得到$k = 0.5$，$b = 19.5$。
因此，该水库水位$y$与日期$x$之间的函数模型为$y = 0.5x + 19.5$。
(2) 根据上面求出的函数表达式$y = 0.5x + 19.5$，当$x = 6$时，可以计算出$y$的值：
$y = 0.5 × 6 + 19.5 = 22.5$。
所以，预测该水库今年4月6日的水位为$22.5m$。
(3) 对于能否用求出的函数表达式预测该水库今年12月1日的水位，结合生活常识，因为所建立的函数模型是基于4月初的数据，而12月远远大于4月，所以用这个函数模型去预测12月1日的水位是不可靠的。
【答案】：
(1) $y = 0.5x + 19.5$；
(2) $22.5m$；
(3) 不能。