《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

例4 如图,点O是等边三角形ABC内一点,∠AOB= 110°,∠BOC= α。以OC为一边作等边三角形OCD,连结AD。

(1)当α= 150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由。
(2)探究：当α为多少度时,△AOD是等腰三角形？
思路点拨 (1)先根据已知条件证明△BOC≌△ADC,然后利用全等三角形的性质求出∠ADO的度数,由此即可判定△AOD的形状。(2)利用(1)和已知条件及等腰三角形的性质即可求解,注意分类讨论。
解题过程 (1)∵△ABC与△OCD均是等边三角形,∴OC= DC,BC= AC,∠ACB= ∠OCD= 60°。∴∠BCO= ∠ACD。在△BOC和△ADC中,
∵OC= DC,∠BCO= ∠ACD,BC= AC,∴△BOC≌△ADC(SAS)。∴∠BOC= ∠ADC。
而∠BOC= α=150°,∠ODC= 60°,∴∠ADO= 150°-60°= 90°。
∴△ADO是直角三角形。
(2)设∠CBO= ∠CAD= a,∠ABO= b,∠BAO= c,∠CAO= d,
则a+b= 60°,b+c= 180°-110°= 70°,c+d= 60°,
∴a+d= a+b+c+d-(b+c)= 60°+60°-70°= 50°,即∠DAO= 50°。
①要使AO= AD,需满足∠AOD= ∠ADO= 1/2×(180°-50°)= 65°,
∴α=∠ADC= ∠ADO+∠ODC= 65°+60°= 125°。
②要使OA= OD,需满足∠ADO= ∠DAO= 50°,
∴α=∠ADC= ∠ADO+∠ODC= 50°+60°= 110°。
③要使OD= AD,需满足∠DOA= ∠DAO= 50°,
∴∠ADO= 180°-50°-50°= 80°。∴α= ∠ADC= ∠ADO+∠ODC= 80°+60°= 140°。∴当α为110°,125°或140°时,△AOD是等腰三角形。
方法归纳 本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质。△ADC可看作是由△BOC绕点C顺时针旋转60°得到的。
易错误区 第(2)题需要根据等腰三角形边的情况分三种情况讨论,分类时要注意不重不漏。

答案：
(1)解：△AOD是直角三角形。理由如下：
∵△ABC与△OCD均是等边三角形，
∴OC=DC，BC=AC，∠ACB=∠OCD=60°，
∴∠ACB - ∠ACO = ∠OCD - ∠ACO，即∠BCO=∠ACD，
在△BOC和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l} OC=DC\\ ∠BCO=∠ACD\\ BC=AC\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△ADC(SAS)，
∴∠BOC=∠ADC，
∵∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=∠ADC - ∠ODC=150° - 60°=90°，
∴△AOD是直角三角形。
(2)解：设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，
则a + b=60°，b + c=180° - 110°=70°，c + d=60°，
∴a + d=(a + b) + (c + d) - (b + c)=60° + 60° - 70°=50°，即∠DAO=50°。
①若AO=AD，则∠AOD=∠ADO=$\frac{1}{2}$×(180° - 50°)=65°，
∴α=∠ADC=∠ADO + ∠ODC=65° + 60°=125°；
②若OA=OD，则∠ADO=∠DAO=50°，
∴α=∠ADC=∠ADO + ∠ODC=50° + 60°=110°；
③若OD=AD，则∠DOA=∠DAO=50°，
∴∠ADO=180° - 50° - 50°=80°，
∴α=∠ADC=∠ADO + ∠ODC=80° + 60°=140°。
综上，当α为110°，125°或140°时，△AOD是等腰三角形。