《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

14. 如图,在等腰直角三角形ABC中,$\angle ABC= 90^\circ$,点P在AC上,将$\triangle ABP$绕顶点B顺时针旋转$90^\circ后得到\triangle CBQ$。
(1)求$\angle PCQ$的度数。
(2)当$AB= 4$,$AP:PC= 1:3$时,求PQ的长。
(3)当点P在线段AC上运动时(点P不与点A重合),请写出一个反映$PA^2$,$PC^2$,$PB^2$之间关系的等式,并加以证明。

答案：
(1)由题意知，$\triangle ABP\cong\triangle CBQ$，$\therefore \angle A=\angle ACB=\angle BCQ=45^{\circ}$，$\angle ABP=\angle CBQ$，$AP=CQ$，$PB=BQ$。$\therefore \angle PCQ=\angle ACB+\angle BCQ=90^{\circ}$。
(2)当$AB=4$，$AP:PC=1:3$时，有$AC=4\sqrt{2}$，$AP=\sqrt{2}$，$PC=3\sqrt{2}$，$\therefore PQ=\sqrt{PC^{2}+CQ^{2}}=2\sqrt{5}$。
(3)存在$2PB^{2}=PA^{2}+PC^{2}$。$\because \angle ABP+\angle PBC=\angle CBQ+\angle PBC=90^{\circ}$，$BP=BQ$，$\therefore \triangle BPQ$是等腰直角三角形。$\therefore PQ=\sqrt{2}PB$。$\because AP=CQ$，$\therefore PQ^{2}=PC^{2}+CQ^{2}=PA^{2}+PC^{2}$。$\therefore 2PB^{2}=PA^{2}+PC^{2}$。