《2025年走进重高培优讲义八年级数学上册浙教版》

1. 如图,在△ABC中,已知∠A= 60°,∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE相交于点O,∠BOC的平分线交BC于点F,则下列说法中正确的是______。
①∠BOE= 60°；②∠ABD= ∠ACE；③OE= OD；④BC= BE+CD。

答案： ①③④

2. 如图,AM是△ABC的中线,∠DAM= ∠BAM,CD//AB。求证：AB= AD+CD。

答案：
如图,延长AM,与CD的延长线相交于点N。
∵CD//AB,
∴∠BAM=∠N。
在△ABM和△NCM中,
∵$\begin{cases}∠BAM = ∠N\\∠AMB = ∠NMC\\BM = CM\end{cases}$,
∴△ABM≌△NCM(AAS)。
∴AB=NC。
∵∠BAM=∠N,∠DAM=∠BAM,
∴∠DAM=∠N。
∴AD=ND。
∴AB=NC=AD+CD。

3. 在△ABC中,∠ACB= 2∠B,如图1,当∠C= 90°,AD为∠BAC的平分线时,在AB上截取AE= AC,连结DE,易证AB= AC+CD。
(1)如图2,当∠C≠90°,AD为∠BAC的平分线时,线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系？不需要证明,请直接写出你的猜想。
(2)如图3,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB,AC,CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,并给予证明。

答案：
(1)猜想:AB=AC+CD。
(2)猜想:AB+AC=CD。
证明:在BA的延长线上截取AE=AC,连结ED。
∵AD平分∠FAC,
∴∠EAD=∠CAD。
在△EAD和△CAD中,
∵$\begin{cases}AE = AC\\∠EAD = ∠CAD\\AD = AD\end{cases}$,
∴△EAD≌△CAD。
∴ED=CD,∠AED=∠ACD。
∴∠FED=∠ACB。又
∵∠ACB=2∠B,
∠FED=2∠B,∠FED=∠B+∠EDB,
∴∠EDB=∠B。
∴EB=ED。
∴EA+AB=EB=ED=CD。
∴AC+AB=CD。