《2025年精彩练习就练这一本八年级数学上册浙教版评议教辅》

【变式 1】如图,在 Rt△ABC 中,∠A= 90°,∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D。若 AD= 2,则点 D 到 BC 的距离为
(D)

A.1
$B.\sqrt{3}$　　
$C.\sqrt{5}$　　
D.2

答案： D

【变式 2】如图,△ABC 的面积为$ 10 cm^2,BP $平分∠ABC,过点 A 作 AP⊥BP 于点 P。则△PBC 的面积为_________$cm^2。$

答案：
5【解析】延长 AP 交 BC 于 E，如图。 因为 BP 平分∠ABC，所以∠ABP=∠EBP。因为 AP⊥BP，所以∠APB=∠EPB=90°。在△ABP 和△EBP 中，$\begin{cases}∠ABP=∠EBP, \\ BP=BP, \\ ∠APB=∠EPB,\end{cases}$所以△ABP≌△EBP(ASA)，所以 AP=PE，所以 $S_{\triangle ABP}=S_{\triangle EBP}$，$S_{\triangle ACP}=S_{\triangle ECP}$，所以 $S_{\triangle PBC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×10=5(cm^2)$。

【变式 3】如图,DE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E,DF⊥AC 于点 F,若 BD= CD,BE= CF。求证:AD 平分∠BAC。

答案： 证明:因为 DE⊥AE，DF⊥AC，所以∠E=∠DFC=90°。在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，因为$\begin{cases}BD=CD, \\ BE=CF,\end{cases}$所以 Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，所以 DE=DF，所以 AD 平分∠BAC。

【例 3】如图,有一张三角形纸片 ABC,∠C= 90°,AC= 8 cm,BC= 6 cm,现将纸片折叠,使点 A 与点 B 重合,求折痕的长度。

答案：
解:如图，折痕为 DE。 因为在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8 cm，BC=6 cm，所以根据勾股定理得，AB= $\sqrt{AC^2+BC^2}$=10 cm。设 CE=x cm，由折叠的性质得BD=AD=5 cm，BE=AE=(8-x)cm。在 Rt△BCE 中，根据勾股定理可知，$BC^2+CE^2$=$BE^2$，即$6^2+x^2=(8-x)^2$，解得 x= $\frac{7}{4}$，故折痕长 DE= $\sqrt{AE^2-AD^2}=\frac{15}{4}$cm。

【变式 1】如图,有一张直角三角形纸片,∠ACB= 90°,AB= 5 cm,AC= 3 cm,现将△ABC 折叠,使边 AC 与 AB 重合,点 C 的对应点为点 D,折痕为 AE,则 CE 的长为(C)
A.1 cm
B.2 cm
$C.\frac{3}{2} cm$　　
$D.\frac{5}{2} cm$　　

答案： C

【变式 2】小明将三角形纸片 ABC(AB＞AC)沿过点 A 的直线折叠,使得 AC 落在 AB 边上,折痕为 AD,展开纸片(如图 1)；再次折叠该三角形纸片,使点 A 和点 D 重合,折痕为 EF,展平纸片后得到△AEF(如图 2)。小明认为△AEF 是等腰三角形,你同意他的说法吗？请你说明理由。

答案： 解:同意。理由:设 AD 与 EF 交于点 G。由第一次折叠知 AD 平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。由第二次折叠知，∠AGE=∠DGE。又因为∠AGE+∠DGE=180°，所以∠AGE=∠DGE=90°，所以∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE，所以 AE=AF，即△AEF 为等腰三角形。