《2025年精彩练习就练这一本八年级数学上册浙教版评议教辅》

【例1】如图,AD是△ABC的边BC上的中线,E是AD上一点,延长AD到点F,使DF= DE。连结BE,CF,G是DA延长线上一点,连结BG。
(1)求证：BE= CF。
(2)若BG= CA,AG= 2DF,求证：∠G= ∠CAF。

答案： 证明:
(1)因为AD是△ABC的中线,所以BD=CD。在△BED和△CFD中,因为∠BDE=∠CDF,BD=CD,所以△BED≌△CFD(SAS),所以BE=CF。
(2)因为DE=DF,所以AG=2DF=EF,所以GE=AF,在△BGE和△CAF中,因为BG=AC,BE=CF,GE=AF,所以△BGE≌△CAF(SSS),所以∠G=∠CAF。

【变式】如图,△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧,点C,D在线段AE上,AB= EF,AD= EC,AB//EF。△ABC与△EFD全等吗？请说明理由。

答案： 解:△ABC≌△EFD。理由如下:因为AB//EF,所以∠A=∠E。因为AD=EC,所以AD-CD=EC-CD,即AC=ED。在△ABC和△EFD中,因为AB=EF,∠A=∠E,AC=ED,所以△ABC≌△EFD(SAS)。

【例2】如图,已知∠1= ∠2,AB= AD,请添加一个条件,使△ABC≌△ADE,并加以证明。
(1)你添加的条件是∠B=∠D(ASA)。
(2)写出证明过程。
证明:因为∠1=∠2,所以∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,即∠BAC=∠DAE。在△ABC和△ADE中,∠B=∠D,AB=AD,∠BAC=∠DAE,所以△ABC≌△ADE(ASA)。

答案：
(1)∠B=∠D
(2)证明:因为∠1=∠2,所以∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,即∠BAC=∠DAE。在△ABC和△ADE中,∠B=∠D,AB=AD,∠BAC=∠DAE,所以△ABC≌△ADE(ASA)。

【变式】如图,在△ABE和△ACD中,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点O。若∠1= ∠2,求证：OB= OC。

答案： 证明:因为CD⊥AB,BE⊥AC,所以∠ADO=∠AEO=90°。在△AOD和△AOE中,因为∠ADO=∠AEO,∠1=∠2,AO=AO,所以△AOD≌△AOE(AAS),所以OD=OE。在△DOB和△EOC中,因为∠ODB=∠OEC,OD=OE,∠DOB=∠EOC,所以△DOB≌△EOC(ASA),所以OB=OC。