《2025年精彩练习就练这一本八年级数学上册浙教版评议教辅》

【例 1】如图,在△ABC 中,DE 垂直平分边 AC,分别交边 AC,AB 于点 D,E,连结 CE,且 CE 平分∠ACB。
(1)若 AB= 9,BC= 5,求△BCE 的周长。
(2)设$∠A= \alpha,∠B= \beta,试用含\alpha的式子表示\beta,再求当\alpha=28°时,\beta$的值。

答案：
(1)因为 DE 垂直平分边 AC，所以 EA=EC，所以△BCE 的周长=BC+BE+EC=BC+BE+EA=BC+AB=14。
(2)因为 EA=EC，所以∠ECA=∠A=α。因为 CE 平分∠ACB，所以∠BCE=∠ECA=α，所以β=180°-3α。当α=28°时，β=180°-3×28°=96°。

【变式 1】如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线 DE 与边 AB,AC 分别交于点 D,E。已知△ABC 与△BCE 的周长分别为 22 cm 和 14 cm,则 BD 的长为(B)

A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm

答案： B

【变式 2】如图,在△ABC 中,∠C= 90°,AC= 9,BC= 12,分别以 A,B 为圆心画弧,两弧分别交于 E,F,直线 EF 交 BC 于点 D,则△ACD 的周长等于(21)

A.21
B.24
C.27
D.30

答案： A【解析】由题意可知，EF 是边 AB的垂直平分线，所以 AD=DB，所以 AD+CD=BD+CD=CB，所以△ACD 的周长=AC+AD+CD=AC+CB=21。

【变式 3】如图,△ABC 的边 AB,AC 的垂直平分线 DM,EN 相交于点 O,M,N 在 BC 边上,若∠MAN= 20°,则∠BAC 的度数为100°。

答案： 100°【解析】因为 DM，EN 分别垂直平分 AB，AC，所以 AM=BM，AN=CN，所以∠B=∠BAM，∠C=∠CAN。因为∠B+∠BAM+∠C+∠CAN+∠MAN=180°，所以 2(∠B+∠C)+∠MAN=180°。因为∠MAN=20°，所以∠B+∠C= $\frac{1}{2}$×(180°-20°)=80°，所以∠BAC=180°-(∠B+∠C)=100°。

【例 2】在△ABC 中,∠ABC= 60°,∠ACB= 40°,BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACB。
(1)如图 1,求∠BDC 的度数。
(2)如图 2,连结 AD,作 DE⊥AB 于点 E,DE= 2,AC= 4,求△ADC 的面积。

答案：

(1)因为 BD 平分∠ABC，所以∠DBC= $\frac{1}{2}$∠ABC= $\frac{1}{2}$×60°=30°。因为 CD 平分∠ACB，所以∠DCB= $\frac{1}{2}$∠ACB= $\frac{1}{2}$×40°=20°，所以∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-30°-20°=130°。
(2)作 DF⊥AC 于点 F，DH⊥BC 于点 H，如图。 因为 BD 平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，所以 DH=DE=2。因为 CD 平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，所以 DF=DH=2，所以△ADC 的面积= $\frac{1}{2}$DF·AC= $\frac{1}{2}$×2×4=4。