《2025年能力培养与测试九年级数学上册人教版》

6. 如图 24.2 - 22 所示,点 $D$ 在$\odot O$ 的直径 $AB$ 的延长线上,且 $BD = BC$,若 $CD$ 切$\odot O$ 于点 $C$,求$\angle CAB$ 的大小.
[

答案： 解：连接 OC，则∠OCD=90°.
∵ BC=BD，
∴ ∠BCD=∠D. 而∠COB+∠D=90°，∠OCB+∠BCD=90°，
∴ ∠COB=∠OCB，即 OB=BC. 又 OC=OB，
∴ △OBC 为等边三角形. 即∠COB=60°.
∵ OA=OC，
∴ ∠CAB=∠ACO=1/2∠COB=30°.

7. 如图 24.2 - 23 所示,在$\triangle ABC$ 中,$D$ 是 $AB$ 边上一点,$\odot O$ 过 $D$,$B$,$C$ 三点,$\angle DOC = 2\angle ACD = 90^{\circ}$.
求证：直线 $AC$ 是$\odot O$ 的切线.
[

答案： 证明：
∵ OD=OC，∠DOC=90°，
∴ ∠ODC=∠OCD=45°. 又∠DOC=2∠ACD=90°，
∴ ∠ACD=45°，
∴ ∠ACD+∠OCD=∠OCA=90°.
∵ OC 是⊙O 的半径，
∴ 直线 AC 是⊙O 的切线.

8. 如图 24.2 - 24 所示,四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,$BD$ 是$\odot O$ 的直径,$AE\perp CD$,垂足为 $E$,$DA$ 平分$\angle BDE$.
(1) 求证：$AE$ 是$\odot O$ 的切线；
(2) 若$\angle DBC = 30^{\circ}$,$DE = 1\ cm$,求 $BD$ 的长.
[

答案： （1）证明：连接 OA，
∵ DA 平分∠BDE，
∴ ∠BDA=∠EDA. 又 OA=OD，
∴ ∠OAD=∠ODA，
∴ ∠OAD=∠EDA.
∵ ∠EAD+∠EDA=90°，
∴ ∠OAD+∠EAD=∠OAE=90°.
∵ OA 是⊙O 的半径，
∴ 直线 AE 是⊙O 的切线. （2）解：BD=4 cm.