《2025年能力培养与测试九年级数学上册人教版》

【延伸·探索】如图22.3-6,点D,E,F分别位于等边$ \triangle ABC $的三条边上,$ AD = BE = CF $. 当点D位于何处时,$ \triangle EFD $的面积最小？
【解答】

答案： 解：由条件可证：$\triangle ADF\cong \triangle BED\cong \triangle CFE$. 过点D作$DH\perp BC$，垂足为H.
设$BD=x$，$AB=a$，则$\angle BDH=30^{\circ }$，所以$BH=\frac {1}{2}x$，$AD=BE=a-x$.
在$Rt\triangle BDH$中，$DH=\sqrt {x^{2}-(\frac {1}{2}x)^{2}}=\frac {\sqrt {3}}{2}x$，
所以$S_{\triangle BDE}=\frac {1}{2}(a-x)\cdot \frac {\sqrt {3}}{2}x$，
即有$S_{\triangle BDE}=-\frac {\sqrt {3}}{4}x^{2}+\frac {\sqrt {3}}{4}ax$.
要求$\triangle DEF$面积的最小值，即是求$\triangle BDE$面积的最大值.
当$x=-\frac {\frac {\sqrt {3}}{4}a}{2× (-\frac {\sqrt {3}}{4})}=\frac {1}{2}a$时，$\triangle BDE$的面积最大，也就是$\triangle DEF$的面积最小.
即当点D为AB的中点时，$\triangle DEF$的面积最小.

1. 如图22.3-7,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两个小孔形状、大小都相同. 正常水位时,大孔的水面宽度AB为20m,顶点M距水面6m(即$ MO = 6 $m),小孔的顶点N距水面4.5m(即$ NC = 4.5 $m). 当水位上涨到刚好淹没小孔时,借助图中的平面直角坐标系,则此时大孔的水面宽度EF为____m.

答案： 10（解析：由条件可求得大孔的解析式为$y=-\frac {3}{50}x^{2}+6(y\geq 0)$. 令$y=4.5$，求得$x=\pm 5$，故$EF=10\ m.$）

2. 如图22.3-8所示,小明在一次高尔夫球练习中,从山坡下点O打出一球向球洞点A飞去,球的飞行路线为抛物线,如果不考虑空气阻力,当球达到最大高度12m时,球水平移动的距离为9m,以点O为原点建立坐标系,已知山坡OA与水平方向OC成$ 30^{\circ} $角,O,A两地相距$ 8\sqrt{3} $m.
(1)求A点的坐标及直线OA的解析式；
(2)求球飞行的路线所在抛物线的解析式；
(3)试判断小明这一杆能否将高尔夫球从点O直接打入球洞点A.

答案： （1）因为$AC=\frac {1}{2}OA=\frac {1}{2}× 8\sqrt {3}=4\sqrt {3}(m)$，$OC=\sqrt {(8\sqrt {3})^{2}-(4\sqrt {3})^{2}}=12(m)$，所以点$A(12,4\sqrt {3})$.
设直线OA的解析式为$y=kx$，把点$A(12,4\sqrt {3})$代入，
得$4\sqrt {3}=12k$，$k=\frac {\sqrt {3}}{3}$，所以$y=\frac {\sqrt {3}}{3}x$.
（2）因为顶点$B(9,12)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-9)^{2}+12$，把点$O(0,0)$代入，得$a(0-9)^{2}+12=0$，解得$a=-\frac {4}{27}$，故球飞行的路线所在抛物线的解析式为$y=-\frac {4}{27}(x-9)^{2}+12$.
（3）当$x=12$时，$y=\frac {32}{3}\neq 4\sqrt {3}$，所以小明这一杆不能把高尔夫球从点O直接打入球洞点A.