《2025年能力培养与测试九年级数学上册人教版》

6. 如图 23-9,△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)请画出将△ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的图形$△A_1B_1C_1；$
(2)请画出△ABC 关于原点 O 成中心对称的图形$△A_2B_2C_2；$
(3)在 x 轴上找一点 P,使 PA + PB 的值最小,请直接写出点 P 的坐标.

答案：
解：（1）画出△A₁B₁C₁如图.
（2）由题意知 A₂（-1，-1），B₂（-4，-2），C₂（-3，-4），顺次连接各点可得△A₂B₂C₂，如图.
（3）点 P 的坐标为（2，0）.
提示：如图，作点 A 关于 x 轴的对称点 A'，连接 A'B，交 x 轴于点 P，则点 P 即为所求.

7. 如图 23-10,△ABC 中,点 E 在 BC 边上,AE = AB,将线段 AC 绕点 A 旋转到 AF 的位置,使得∠CAF = ∠BAE,连接 EF,EF 与 AC 交于点 G.
(1)求证：EF = BC；
(2)若∠ABC = 65°,∠ACB = 28°,求∠FGC 的度数.

答案： （1）证明：
∵ ∠CAF = ∠BAE，
∴ ∠BAC = ∠EAF. 又 AE = AB，AC = AF，
∴ △BAC≌△EAF（SAS），
∴ EF = BC.
（2）解：
∵ AB = AE，∠ABC = 65°，
∴ ∠BAE = 180° - 65°×2 = 50°，
∴ ∠FAG = 50°. 又△BAC≌△EAF，
∴ ∠F = ∠C = 28°.
∴ ∠FGC = 50° + 28° = 78°.

8. 如图 23-11,将等腰△ABC(BA = BC)绕顶点 B 按逆时针方向旋转α度到$△A_1BC_1$的位置,AB 与$ A_1C_1$相交于点 D,AC 与$ A_1C_1,BC_1$分别相交于点 E,F.
(1)求证：$△BCF ≌ △BA_1D；$
(2)当∠C = α度时,请判定四边形$ A_1BCE $的形状并说明理由.

答案： （1）证明：
∵ △ABC 绕点 B 逆时针旋转α度得到△A₁BC₁，
∴ ∠CBF = ∠A₁BD.
∵ △ABC≌△A₁BC₁，且△ABC 为等腰三角形，
∴ BC = A₁B = BC₁，∠C = ∠A₁，
∴ △BCF≌△BA₁D（ASA）.
（2）解：四边形 A₁BCE 为菱形，理由如下：
∵ ∠C = α°，△ABC 是等腰三角形，
∴ ∠C₁ = ∠A = α°，
∴ ∠CBF = ∠C₁，
∴ A₁E//BC，又
∵ ∠A₁BD = ∠A，
∴ A₁B//EC，
∴ 四边形 A₁BCE 为平行四边形. 由（1）知，BC = A₁B，
∴ □A₁BCE 为菱形.