《2025年能力培养与测试九年级数学上册人教版》

【延伸·探索】已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^{2} - (3m - 1)x + 2m - 1 = 0 $,且 $ b^{2} - 4ac $ 的值为 1。
(1)求 $ m $ 的值；
(2)求方程的根。
【解答】

答案： 解：（1）根据题意，得$\Delta =b^{2}-4ac=[-(3m-1)]^{2}-4m(2m-1)=1$，整理得$m^{2}-2m=0$，即$m(m-2)=0$，解得$m_{1}=0$，$m_{2}=2$.由原方程为一元二次方程，得$m\neq 0$，所以$m=2$.（2）由（1）得，原方程为$2x^{2}-5x+3=0$，解这个方程，得$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=1$.

能像下面这样解方程 $ 3x(2x + 1) = 4x + 2 $ 吗？
解：把方程 $ 3x(2x + 1) = 2(2x + 1) $ 的两边同时除以 $ 2x + 1 $,得 $ 3x = 2 $,故 $ x = \frac{2}{3} $。

答案： 不能. 因为当$2x+1=0$时，原方程也成立，故原方程的解为$x_{1}=-\frac{1}{2}$，$x_{2}=\frac{2}{3}$.

1. 方程 $ x^{2} - x = 0 $ 的根为 $ x_{1} = $______,$ x_{2} = $______。

答案： 0 1

2. 方程 $ 8x^{2} - 3x = 0 $ 的根为 $ x_{1} = $______,$ x_{2} = $______。

答案： 0 $\frac{3}{8}$

3. 方程 $ x(x + 1) = 3(x + 1) $ 的根是 $ x_{1} = $______,$ x_{2} = $______。

答案： $-1$ 3

4. 选择适当的方法解下列方程：
(1)$ 6x^{2} - 5x - 2 = 0 $；
(2)$ x^{2} - 2x = 4 $。

答案： （1）$x_{1}=\frac{5+\sqrt{73}}{12}$，$x_{2}=\frac{5-\sqrt{73}}{12}$.（2）$x_{1}=1+\sqrt{5}$，$x_{2}=1-\sqrt{5}$.

5. 阅读下列利用因式分解法解方程的方法：
一般地,因为 $ (x + a)(x + b) = x^{2} + (a + b)x + ab $,所以 $ x^{2} + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) $。
这就是说,对于二次式 $ x^{2} + px + q $,若能找到两个数 $ a $,$ b $,使 $ \begin{cases} a + b = p \\ a\cdot b = q \end{cases} $,则就有 $ x^{2} + px + q = x^{2} + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) $。
这种因式分解方法的特征是“拆常数项,凑一次项”,即 $ a $,$ b $ 的乘积等于常数项,$ a $,$ b $ 的和为一次项系数。
利用这种因式分解的方法解下列一元二次方程：
(1)$ x^{2} - 3x - 4 = 0 $；
(2)$ x^{2} + 4x - 5 = 0 $。

答案： （1）原方程可变形为$x^{2}+[(-4)+1]x+(-4)× 1=0$，即$(x-4)(x+1)=0$.所以$x-4=0$，或$x+1=0$，所以$x_{1}=4$，$x_{2}=-1$.（2）原方程可变形为$x^{2}+[(-1)+5]x+(-1)× 5=0$，即$(x-1)(x+5)=0$.所以$x-1=0$，或$x+5=0$，