《2025年能力培养与测试九年级数学上册人教版》

如图 24.2 - 16 所示,直线 $PO$ 是$\odot O$ 的割线,交$\odot O$ 于点 $A$,$B$,$PD$ 切$\odot O$ 于点 $D$,$AC$ 是$\odot O$ 的一条弦,且 $PC = PD$.
(1) 求证：$PC$ 是$\odot O$ 的切线；
(2) 若 $AC = PD$,求证：$BP = OA$.
【解答】

答案： 证明：（1）连接 OC，OD，则 OC=OD. 又 OP=OP，PC=PD，
∴ △POC≌△POD，
∴ ∠OCP=∠ODP. 又 PD 切⊙O 于 D，
∴ ∠ODP=90°，
∴ ∠OCP=90°. 又 OC 为半径，
∴ PC 是⊙O 的切线. （2）
∵ PC=PD，AC=PD，
∴ AC=PC，
∴ ∠CAO=∠CPB. 又∠COB=2∠CAO=2∠CPO，由（1）知 PC 是⊙O 的切线，
∴ ∠OCP=90°，
∴ ∠COP+∠CPO=90°.
∴ ∠CPO=30°，
∴ OP=2OC=2OA=2OB=PB+OB，即 BP=OA.

经过切点且垂直于切线的直线必过圆心吗？经过圆心且垂直于切线的直线必过切点吗？

答案： 经过切点且垂直于切线的直线必过圆心；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.

1. 如图 24.2 - 17 所示,$AB$ 是$\odot O$ 的直径,$AC$ 是$\odot O$ 的切线,且 $AB = AC$,则$\angle C= $______.
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答案： 45°

2. 如图 24.2 - 18,$\odot O$ 的半径为 $3$,$P$ 是 $CB$ 延长线上一点,$PO = 5$,$PA$ 切$\odot O$ 于点 $A$,则 $PA= $______.

答案： 4

3. 如图 24.2 - 19,$\triangle ABC$ 的边 $AC$ 与$\odot O$ 相交于 $C$,$D$ 两点,且经过圆心 $O$,边 $AB$ 与$\odot O$ 相切,切点为 $B$. 已知$\angle A = 30^{\circ}$,则$\angle C$ 的大小是( ).

A.$30^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$40^{\circ}$
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答案： A

4. 如图 24.2 - 20 所示,已知$\odot O$ 的半径为 $R$,$AB$ 是$\odot O$ 的直径,$D$ 是 $AB$ 延长线上一点,$DC$ 是$\odot O$ 的切线,$C$ 为切点,连接 $AC$. 若$\angle CAB = 30^{\circ}$,则 $BD$ 的长为( ).

A.$2R$
B.$\sqrt{3}R$
C.$R$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}R$

答案： C

5. 如图 24.2 - 21 所示,点 $O$ 是$\angle ABC$ 的平分线 $BD$ 上的一点,以点 $O$ 为圆心的$\odot O$ 与 $AB$ 相切,求证：$BC$ 与$\odot O$ 相切.
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答案： 证明：过点 O 分别作 OM⊥AB，ON⊥BC，垂足分别为 M，N.
∵ BD 是∠ABC 的平分线，
∴ OM=ON.
∵ ⊙O 与 AB 相切，
∴ OM 是⊙O 的半径. 而 ON=OM，
∴ BC 与⊙O 相切.