《2025年能力培养与测试九年级数学上册人教版》

7. 如图24.1-18所示,在$\mathrm{Rt}\triangle ABO$中,$\angle O = 90^{\circ}$,$AO= \sqrt{2}$,$BO = 1$,以$O$为圆心,$OB为半径画圆交AB于点P$,求$PB$的长.

答案： 解:由题意得AB = $\sqrt{3}$，过点O作OM⊥AB，垂足为M，则OM = $\frac{\sqrt{6}}{3}$，BM = PM = $\frac{\sqrt{3}}{3}$，故PB = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

8. 如图24.1-19所示,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下水面宽$AB为7.2\mathrm{m}$,拱顶与水面的距离$CD为2.4\mathrm{m}$.
(1)求拱桥的半径.
(2)现有一艘宽为$3\mathrm{m}$,船舱顶部为正方形并高出水面$2\mathrm{m}$的货船要经过这里,此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由.

答案： 解:
(1)根据题图知:AB = 7.2m，CD = 2.4m，
设⊙O的半径为Rm，在Rt△AOD中，OD = (R - 2.4)m，AD = 3.6m，$R^2=(R - 2.4)^2 + 3.6^2$，
则R = 3.9m.
(2)能通过，如题图，在Rt△OHN中，由HN = 1.5m，得
OH = $\sqrt{ON^2 - HN^2}=\sqrt{3.9^2 - 1.5^2}=3.6$ (m).
又OD = 1.5m，则HD = 3.6 - 1.5 = 2.1 (m).
由2.1m ＞ 2m，知此货船能顺利通过.

已知圆内一点$P到\odot O的圆心的距离为3$,当$\odot O的半径为5$时,经过点$P$的最短弦的长度是多少？

答案： 经过点P的最短弦的长度为8.