《2025年能力培养与测试九年级数学上册人教版》

【延伸·探索】已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 7x^{2} - (k + 13)x - k + 2 = 0 $ 的两个实根 $ x_{1} $,$ x_{2} $ 满足 $ 0 ＜ x_{1} ＜ 1 $,$ 1 ＜ x_{2} ＜ 2 $。求 $ k $ 的取值范围。
【解答】

答案： 解：令$y=7x^{2}-(k+13)x-k+2$，则由已知条件可知，此抛物线与x轴有两个交点$(x_{1},0)$，$(x_{2},0)$，$0＜x_{1}＜1$，$1＜x_{2}＜2$，并且开口向上. 根据这些特点，画出其大致图象，如图所示. 由图象可得，当$x=0$时，$y＞0$；当$x=1$时，$y＜0$；当$x=2$时，$y＞0$，即$\left\{\begin{array}{l} -k+2＞0,\\ 7-k-13-k+2＜0,\\ 28-2k-26-k+2＞0.\end{array}\right. $解这个不等式组，得$-2＜k＜\frac {4}{3}.$

如何利用二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $($ a ≠ 0 $)的图象解不等式 $ ax^{2} + bx + c ＞ 0 $($ a ≠ 0 $)或 $ ax^{2} + bx + c ＜ 0 $($ a ≠ 0 $)？

答案： 二次函数$y=ax^{2}+bx+c$（$a≠0$）的图象与不等式$ax^{2}+bx+c＞0$（$a≠0$），$ax^{2}+bx+c＜0$（$a≠0$）的关系：二次函数在x轴下方的图象的横坐标的取值范围就是$ax^{2}+bx+c＜0$（$a≠0$）的解集；在x轴上方的图象的横坐标的取值范围就是$ax^{2}+bx+c＞0$（$a≠0$）的解集.

1. 已知函数 $ y = x^{2} + ax + b $ 的图象如图 22.2 - 2 所示,则关于 $ x $ 的不等式 $ x^{2} + ax + b ＜ 0 $ 的解集是( )。


A.无解
B.$ x ＞ -1 $
C.$ x ＜ 4 $
D.$ -1 ＜ x ＜ 4 $

答案： D

2. 现有一个园林中的自转喷水头正在浇水,设水管 $ AB $(如图 22.2 - 3)高出地面 $ 1.5m $,$ B $ 处安装的是喷头,喷出的水呈抛物线形状,可用二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} + 2x + \frac{3}{2} $ 来描述。在如图所建的平面直角坐标系中,请你试着求出水流的落地点 $ D $ 到 $ A $ 的距离。

答案： 解：令$y=0$，得$-\frac {1}{2}x^{2}+2x+\frac {3}{2}=0$，解得$x_{1}=2-\sqrt {7}$（不合题意，舍去），$x_{2}=2+\sqrt {7}.$故水流的落地点D到A的距离是$(2+\sqrt {7})m.$

3. 已知二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2} + kx + k - \frac{1}{2} $。
(1)求证：不论 $ k $ 为何实数,二次函数的图象与 $ x $ 轴总有交点；
(2)设 $ k ＜ 0 $,若二次函数 $ y = \frac{1}{2}x^{2} + kx + k - \frac{1}{2} $ 的图象与 $ x $ 轴有两个交点 $ (x_{1}, 0) $,$ (x_{2}, 0) $,且两交点的距离为 $ 4 $,求此二次函数的解析式。

答案： （1）证明：令$\frac {1}{2}x^{2}+kx+k-\frac {1}{2}=0$，因为$b^{2}-4ac=k^{2}-4×\frac {1}{2}×(k-\frac {1}{2})=k^{2}-2k+1=(k-1)^{2}≥0$，所以不论k为何实数，二次函数的图象与x轴总有交点. （2）解：由题意知，方程$\frac {1}{2}x^{2}+kx+k-\frac {1}{2}=0$的两根为$x_{1},x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}=-2k$，$x_{1}x_{2}=2k-1$，所以$|x_{1}-x_{2}|=\sqrt {(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}=\sqrt {4k^{2}-8k+4}=4$，解得$k_{1}=3$，$k_{2}=-1$，又$k＜0$，故$k=-1$，故此二次函数的解析式为$y=\frac {1}{2}x^{2}-x-\frac {3}{2}.$