《2025年能力培养与测试九年级数学上册人教版》

【延伸·探索】

小明家有一块长为 8 m、宽为 6 m 的矩形空地,妈妈准备在该空地上建造一个花园,并且花园面积为矩形空地面积的一半,小明设计了如图 21.3 - 3 所示的四种方案供妈妈挑选,请你选择其中的一种方案帮小明求出图中的 x 的值。
【解答】

答案： 解：方案一：$x=2\ m$；
方案二：$x=1\ m$；
方案三：$x=2\ m$；
方案四：$x=2\ m$.

怎样求解不规则图形的面积？

答案： 平移转化是求解不规则图形面积的常用方法，其核心思想是将分散的几块图形通过平移转化为一个整体（规则图形）. 平移转化的时候，既可以从阴影图形的角度进行考虑，也可以从空白图形的角度进行考虑.

1. 一个矩形,将其长缩短 5 cm、宽增加 3 cm 后变成了一个正方形,且面积比原来减少了$ 5 cm^2,$则该正方形的面积为_________。

答案： $100\ cm^2$

2. 如图 21.3 - 4 所示,8 块相同的矩形地砖拼成面积为$ 2400 cm^2 $的大矩形,则小矩形的周长为_________。

答案： $80\ cm$

3. 若菱形的面积为 20,两条对角线长的差为 3,则两条对角线长分别为______。

答案： 5和8

4. 小林准备进行如下操作实验：把一根长为 40 cm 的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形。
(1)要使这两个正方形的面积之和等于$ 58 cm^2,$小林该怎么剪？
(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于$ 48 cm^2。$”他的说法对吗？请说明理由。

答案： 解：（1）设其中一个正方形的边长为$x\ cm$，则另一个正方形的边长为$(10-x)cm$.
由题意得$x^2+(10-x)^2=58$，解得$x_1=3$，$x_2=7$.
$4×3=12$，$4×7=28$.
所以小林应把绳子剪成$12\ cm$和$28\ cm$的两段.
（2）他的说法对. 理由如下：
假设能围成符合要求的正方形，
由（1）得，$x^2+(10-x)^2=48$.
化简得$x^2-10x+26=0$.
因为$b^2-4ac=(-10)^2-4×1×26=-4＜0$，
所以此方程没有实数根.
所以小峰的说法是对的.

如图 21.3 - 5,在宽为 20 m、长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为$ 540 m^2,$求道路的宽。

答案： 解：设道路的宽为$x\ m$，则有$(32-x)\cdot(20-x)=540$.
整理，得$x^2-52x+100=0$.
解得$x_1=2$，$x_2=50$（舍去）.
答：道路的宽为$2\ m$.