《2025年能力培养与测试九年级数学上册人教版》

在应用求根公式前,为什么要先计算 $ \Delta = b^{2}-4ac $ 的值？

答案： 由配方法知，当$\Delta=b^2-4ac＜0$时，$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$无意义，此时方程无实数根，故应先计算$\Delta=b^2-4ac$的值。

1. 把下列方程化为 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的形式,并写出 $ a $,$ b $,$ c $ 的值：
(1)$ x^{2}+9x = 4 $,$ x^{2}+9x - $______$ = 0 $,则 $ a = $______,$ b = $______,$ c = $______；
(2)$ 8x = 3x^{2}-1 $,$ 3x^{2}- $______$ -1 = 0 $,则 $ a = $______,$ b = $______,$ c = $______。

答案： （1）4 1 9 -4 （2）$8x$ 3 -8 -1

2. 方程 $ 5x^{2}+1 = 5x $ 中的 $ \Delta = b^{2}-4ac = $______。

答案： 5

3. 一元二次方程 $ x^{2}+4x = 2 $ 较大的根为( )。

A.$ 2-\sqrt{6} $
B.$ 2+\sqrt{6} $
C.$ -2-\sqrt{6} $
D.$ -2+\sqrt{6} $

答案： D

4. 图 21.2 - 2 是一个正方体的表面展开图,已知正方体相对两个面上的数相同,且不相对两个面上的数不相同,那么“▲”面上的数是多少？

答案： 解：依题意知$x^2=3x-2$，$x^2-3x+2=0$，
$x=\frac{3\pm\sqrt{9-4×1×2}}{2}=\frac{3\pm1}{2}$，
$x_1=2$，$x_2=1$。
当$x=2$时，$x^2=x+2=4$不合题意，舍去。
所以$x=1$。
故“▲”面上的数为$x+1=1+1=2$。

5. 解方程：$ x^{2}-\vert x\vert - 2 = 0 $。

答案： 解：设$|x|=m$，则原方程可变形为$m^2-m-2=0$。
因为$a=1$，$b=-1$，$c=-2$，
所以$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×1×(-2)=9$，
所以$m=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{9}}{2×1}=\frac{1\pm3}{2}$，
即$m_1=2$，$m_2=-1$。
因为$|x|\geq0$，所以$|x|=-1$舍去，
所以$|x|=2$，即$x_1=2$，$x_2=-2$。

小明是这样推导一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $($ a\neq0 $)的求根公式的：
①由 $ a\neq0 $,方程两边同乘 $ 4a $,得 $ 4a^{2}x^{2}+4abx + 4ac = 0 $；
②方程两边同时加上 $ b^{2} $,得 $ 4a^{2}x^{2}+4abx + 4ac + b^{2} = b^{2} $；
③把 $ 4ac $ 移到方程的右边,得 $ 4a^{2}x^{2}+4abx + b^{2} = b^{2}-4ac $；
④将左边写成完全平方式,得 $ (2ax + b)^{2} = b^{2}-4ac $；
⑤所以 $ 2ax + b = \pm\sqrt{b^{2}-4ac} $；
⑥所以 $ 2ax = -b\pm\sqrt{b^{2}-4ac} $；
⑦因为 $ a\neq0 $,所以 $ x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} $。
请问,小明的推导过程是否正确？若出现错误,应该如何改正？

答案： 解：小明的推导在第⑤步出现了错误，应改为：若$b^2-4ac\geq0$，则$2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}$；若$b^2-4ac＜0$，则判断方程无解，推导结束。