《2025年能力培养与测试九年级数学上册人教版》

用配方法解方程$2x^{2}-4x = - 1$时,直接在方程两边都加上一次项系数一半的平方,得$2x^{2}-4x + 2^{2}= -1 + 2^{2}$,即$2x^{2}-4x + 4 = 3$.这是否达到了配方的目的,为什么？

答案： 没有. 只有在一元二次方程的二次项系数为1时，两边都加上一次项系数一半的平方，方程左边才能配成完全平方式.

1. 填空：
$x^{2}+4x+$______$=(x+$______$)^{2}$；
$x^{2}-8x+$______$=(x-$______$)^{2}$；
$x^{2}+\frac{7}{2}x+$______$=(x+$______$)^{2}$.

答案： （1）4 2；（2）16 4；（3）$\dfrac{49}{16}$ $\dfrac{7}{4}$

2.
若$x^{2}+8x + k$是一个完全平方式,则$k= $____；
若$x^{2}+kx + 4$是一个完全平方式,则$k= $____；
若$x^{2}-6x + k^{2}$是一个完全平方式,则$k= $____.

答案： （1）16；（2）$\pm 4$；（3）$\pm 3$

3. 如果$x^{2}-8x + p= (x + q)^{2}$,那么$p$,$q$的值分别是( ).

A.$p = 16$,$q = 4$
B.$p= -16$,$q = 4$
C.$p = 16$,$q= -4$
D.$p= -16$,$q= -4$

答案： C

4. 若$9x^{2}-(k + 2)x + 4$可以写成一个完全平方式,则$k$的值为( ).

A.$10$
B.$10或14$
C.$-10或14$
D.$10或-14$

答案： D

5. 选取二次三项式$ax^{2}+bx + c$($a\neq0$)中的两项,配成完全平方式的过程叫配方.
例如：
选取二次项和一次项配方：$x^{2}-4x + 2= (x - 2)^{2}-2$；
选取二次项和常数项配方：$x^{2}-4x + 2= (x-\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2}-4)x$,或$x^{2}-4x + 2= (x+\sqrt{2})^{2}-(4 + 2\sqrt{2})x$；
选取一次项和常数项配方：$x^{2}-4x + 2= (\sqrt{2}x-\sqrt{2})^{2}-x^{2}$.
根据上述材料,解下面各题：
1. 写出$x^{2}-8x + 4$的两种不同形式的配方；
2. 已知$x^{2}+y^{2}+xy - 3y + 3 = 0$,求$x^{y}$的值.

答案： 解：（1）$x^{2}-8x+4=x^{2}-8x+16-16+4=(x-4)^{2}-12$或$x^{2}-8x+4=(x-2)^{2}-4x$.（2）因为$x^{2}+xy+y^{2}-3y+3=\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^{2}+\dfrac{3}{4}(y-2)^{2}=0$，所以$x=-1$，$y=2$. 故$x^{y}=(-1)^{2}=1$.

1. 试一试,配方：
$x^{2}-x + 2= x^{2}-x+($____$)^{2}-($____$)^{2}+2= (x-\frac{1}{2})^{2}+$______；
$y^{2}+20y - 100= y^{2}+20y+(\frac{20}{2})^{2}-(\frac{20}{2})^{2}-$______$=(y+$______$)^{2}-200$.

答案： ①$-\dfrac{1}{2}$ $-\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{7}{4}$；②100 10

2. 试用配方法证明：不论$x$取何实数,代数式$2x^{2}-8x + 18的值不小于10$.

答案： 证明：$2x^{2}-8x+18=2(x^{2}-4x+9)=2[(x^{2}-4x+4)+5]=2[(x-2)^{2}+5]=2(x-2)^{2}+10$.因为$2(x-2)^{2}\geqslant 0$，所以$2(x-2)^{2}+10\geqslant 10$，即不论$x$取何实数，代数式$2x^{2}-8x+18$的值不小于10.