《2025年能力培养与测试九年级数学上册人教版》

怎样用一元二次方程根与系数的关系去探究一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$($a \neq 0$)有两个正数根的问题？

答案： 设方程两根为$x_{1}$，$x_{2}$，则$\begin{cases} \Delta =b^{2}-4ac\geqslant0, \\x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a}＞0,\\x_{1}x_{2}=\dfrac{c}{a}＞0. \end{cases}$

1. 若关于 $x$ 的方程 $x^2 + mx = 1$ 的两个实数根互为相反数,则 $m = $______。

答案： 0

2. 已知关于 $x$ 的方程 $x^2 - 3x + t = 0$ 的一个根为 $0$,则它的另一个根为______,$t$ 的值为______。

答案： 3 0

3. 一元二次方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的两根之和为( )。

A.$5$
B.$-5$
C.$-6$
D.$6$

答案： A

4. 设一元二次方程 $x^2 - 2x - 4 = 0$ 的两个实数根为 $x_1$ 和 $x_2$,则下列结论正确的是( )。

A.$x_1 + x_2 = 2$
B.$x_1 + x_2 = -4$
C.$x_1 \cdot x_2 = -2$
D.$x_1 \cdot x_2 = 4$

答案： A

5. 若 $\alpha$,$\beta$ 是一元二次方程 $x^2 + 2x - 6 = 0$ 的两根,则 $\alpha^2 + \beta^2$ 的值为( )。

A.$-8$
B.$32$
C.$16$
D.$40$

答案： C

6. 下面是关于一元二次方程 $x^2 - 5x - 3 = 0$ 的根的情况的说法：①有两个不相等的实数根；②有两个正实数根；③有两个负实数根；④有一正一负两个实数根且正根的绝对值较大。其中说法正确的有( )。

A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个

答案： B

7. 已知 $\alpha$,$\beta$ 是方程 $x^2 + 99x - 1 = 0$ 的两个实数根,试求 $\alpha\beta^2 + \alpha^2\beta - \alpha\beta$ 的值。

答案： 解：依题意有$\alpha+\beta=-99$，$\alpha\beta=-1$，所以$\alpha\beta^{2}+\alpha^{2}\beta-\alpha\beta=\alpha\beta(\alpha+\beta)-\alpha\beta=-1×(-99)-(-1)=100$.

8. 已知方程 $x^2 + 2x - 4 = 0$ 的两个实数根为 $x_1$,$x_2$,不解方程,求下列各式的值：
(1)$(x_1 - 3)(x_2 - 3)$； (2)$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$。

答案： 解：（1）$(x_{1}-3)(x_{2}-3)=x_{1}x_{2}-3(x_{1}+x_{2})+9=11$.（2）$\dfrac{x_{2}}{x_{1}}+\dfrac{x_{1}}{x_{2}}=\dfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\dfrac{(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=-3$.

9. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + (2k - 3) \cdot x + k^2 = 0$ 有两个不相等的实数根 $\alpha$,$\beta$。
(1)求实数 $k$ 的取值范围；
(2)若 $\alpha + \beta + \alpha\beta = 6$,求 $(\alpha - \beta)^2 + 3\alpha\beta - 5$ 的值。

答案： 解：（1）$k$的取值范围为$k＜\dfrac{3}{4}$.（2）依题意得$k=-1$，所以$(\alpha-\beta)^{2}+3\alpha\beta-5=19$.

已知实数 $a$,$b$ 满足 $a^2 - a - 11 = 0$,$b^2 - b - 11 = 0$,且 $a \neq b$,试求 $a^2 + b^2$ 的值。

答案： 解：因为$a\neq b$，$a^{2}-a-11=0$，$b^{2}-b-11=0$，所以$a$，$b$是方程$x^{2}-x-11=0$的两根，所以$a+b=1$，$ab=-11$，所以$a^{2}+b^{2}=23$.