《2025年能力培养与测试九年级数学上册人教版》

利用二次函数解决实际问题时,实际问题中的函数是否可能既有最大值也有最小值？

答案： 因为自变量$x$具有实际意义，当$x$的取值范围有限时，函数就可能既有最大值又有最小值．

1. 出售某种手工艺品,若每个获利 $x$ 元,一天可售出 $(8 - x)$ 个,则当 $x= $______元时,一天出售该种手工艺品的总利润 $y$ 最大。

答案： 4（解析：$y=x(8-x)=-x^{2}+8x$，当$x=-\dfrac{8}{2×(-1)}=4$时，总利润$y$最大．）

2. 用一根长为 $100m$ 的铁丝围成一个矩形铁丝框,要想使铁丝框的面积最大,则长和宽分别为______。

答案： $25\ m$，$25\ m$（解析：设长为$x\ m$，则$S=x(50-x)=-x^{2}+50x$，当$x=-\dfrac{50}{2×(-1)}=25$时，$S$取得最大值．）

3. 若两个数的差为 $3$,其中较大的数为 $x$,则它们的积 $y$ 与 $x$ 的函数解析式为______,它有最______值,即当 $x= $______时,$y= $______。

答案： $y=x^{2}-3x$ 小 $\dfrac{3}{2}$ $-\dfrac{9}{4}$（解析：$y=x(x-3)=x^{2}-3x$．当$x=-\dfrac{-3}{2×1}=\dfrac{3}{2}$时，$y_{最小值}=-\dfrac{9}{4}$．）

4. 某种正方形合金板材的成本 $y$(单位：元)与它的面积成正比,设边长为 $x$ 厘米,当 $x = 3$ 时,$y = 18$,那么当成本为 $72$ 元时,边长为( )。

A.$6$ 厘米
B.$12$ 厘米
C.$24$ 厘米
D.$36$ 厘米

答案： A

5. 一小球被抛出后,若距离地面的高度 $h$(单位：$m$)和飞行时间 $t$(单位：$s$)满足函数解析式 $h= -5(t - 1)^{2}+6$,则小球飞行过程中距离地面的最大高度是( )。

A.$1m$
B.$5m$
C.$6m$
D.$7m$

答案： C（解析：由抛物线$h=-5(t-1)^{2}+6$的顶点坐标为$(1,6)$，知$h_{最大值}=6$．）

6. 用长为 $8m$ 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形(如图 $22.3 - 2$),则这个窗户的最大透光面积是( )。


A.$\frac{64}{25}m^{2}$
B.$\frac{4}{3}m^{2}$
C.$\frac{8}{3}m^{2}$
D.$4m^{2}$

答案： C（解析：设横着的边长为$x\ m$，则$S=\left(\dfrac{8-3x}{2}\right)x=-\dfrac{3}{2}x^{2}+4x=-\dfrac{3}{2}\left(x^{2}-\dfrac{8}{3}x+\dfrac{16}{9}\right)+\dfrac{8}{3}=-\dfrac{3}{2}\left(x-\dfrac{4}{3}\right)^{2}+\dfrac{8}{3}$，$0＜x＜\dfrac{8}{3}$，故$S_{最大值}=\dfrac{8}{3}$．）