《2025年能力培养与测试九年级数学上册人教版》

6. 如图23.1-22,已知正方形ABCD,把边DC绕点D顺时针旋转30°到DC'处,连接AC',BC',CC'.写出图中所有的等腰三角形,并写出推理过程.

答案： 解:题图中所有的等腰三角形为△DCC'，△DC'A,△C'AB,△C'BC.理由如下:
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AB=AD=DC,∠BAD=∠ADC=90°,
∴ DC=DC'=DA,
∴ △DCC'，△DC'A为等腰三角形.
∵ ∠C'DC=30°,∠ADC=90°,
∴ ∠ADC'=60°,
∴ △AC'D为等边三角形,
∴ AC'=AD=AB,
∴ △C'AB为等腰三角形.
∵ ∠C'AB=90°−60°=30°,
∴ ∠CDC'=∠C'AB.
在△DCC'和△ABC'中，
$\left\{\begin{array}{l} CD=BA,\\ ∠CDC'=∠BAC',\\ C'D=C'A,\end{array}\right.$
∴ △DCC'≌△ABC'(SAS),
∴ CC'=C'B,
∴ △BCC'为等腰三角形.

7. 如图23.1-23所示,△ABC为等边三角形,矩形ACDE与矩形ABGF的宽AE与AF相等,试问：矩形ABGF能否经过旋转到达矩形ACDE的位置？如果能,请指出旋转中心和旋转角度；如果不能,请说明理由.

答案：
解:能(如图).

(1)以等边△ABC的中心O₁为旋转中心，将矩形ABGF绕点O₁顺时针旋转120°与矩形CAED重合;
(2)以AF，AE的垂直平分线的交点O₂为旋转中心，将矩形ABGF 绕O₂逆时针旋转60°与矩形EDCA重合.

如图23.1-24,在Rt△ABC中,四边形DECF是正方形.
(1)请简述图①经过怎样的变换形成图②；
(2)当AD= 5,BD= 6时,设△ADE,△BDF的面积分别为$S_1,S_2,$求$S_1+S_2$的值.

答案： 解:
(1)将△ADE绕点D逆时针旋转90°形成图②;
(2)S₁+S₂=S_{△A'BD}=$\frac{1}{2}×$DA'·BD=$\frac{1}{2}$AD·BD=$\frac{1}{2}×5×6=15$.