《2025年能力培养与测试九年级数学上册人教版》

在二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 中,为什么要 $ a \neq 0 $？$ b $,$ c $ 能等于 $ 0 $ 吗？为什么？

答案： 当$a=0$时，$y=ax^{2}+bx+c$为$y=bx+c$，此时没有二次项，就不是二次函数.$b$，$c$都能等于0.事实上，$y=ax^{2}(a≠0)$，$y=ax^{2}+bx(a≠0)$，$y=ax^{2}+c(a≠0)$都是二次函数.

1. 已知函数 $ y = (m + 2)x^{m^{2}+m} $ 是关于 $ x $ 的二次函数,则满足条件的 $ m $ 的值为______。

答案： 1（解析：依题意，得$m^{2}+m=2$，且$m+2≠0$，解得$m=1$.)

2. 从边长为 $ 15cm $ 的正方形铁片中间剪去一个边长为 $ xcm $ 的小正方形铁片,则剩下的四方框铁片的面积 $ y $(单位：$ cm^{2} $)与 $ x $(单位：$ cm $)之间的函数解析式为______。

答案： $y=-x^{2}+225(0＜x＜15)$（解析：依题意，得$y=15^{2}-x^{2}=225-x^{2}(0＜x＜15)$.)

3. 下列函数中,是二次函数的是( )。

A.$ y = x^{2}-\frac{1}{x} $
B.$ y = 3 - 2x^{2} $
C.$ y = (x - 3)^{2}-x^{2} $
D.$ y = x^{3}-x^{2}+1 $

答案： B（解析：A选项中等号右边不是整式，C选项中化简后没有二次项，D选项中$x$的最高次数是3，故选B.)

4. 关于函数 $ y = (500 - 10x)(40 + x) $,下列说法不正确的是( )。

A.化简后 $ y $ 是 $ x $ 的二次函数
B.二次项系数为 $ - 10 $
C.一次项为 $ 400 $
D.常数项为 $ 20000 $

答案： C

5. 用总长为 $ 80m $ 的篱笆围成一个矩形场地。矩形面积 $ S $ 与矩形一边长 $ L $ 之间的关系是什么？是函数关系吗？若是,是哪一种函数关系？

答案： 解：$S=L\cdot \frac {80-2L}{2}=-L^{2}+40L$，$0＜L＜40$，$S$与$L$是函数关系，且$S$是$L$的二次函数.

6. 如图 22.1 - 2 所示,在四边形 $ ABCD $ 中,$ AB // DC $,$ AD = DC = CB $,$ \angle C = \angle D = 120^{\circ} $。设 $ AD $ 的长为 $ x $。
(1)求四边形下底 $ AB $ 的长及四边形的高(用 $ x $ 表示)；
(2)求四边形的面积 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式；
(3)求当 $ x = 2 $ 或 $ x = 4 $ 时四边形的面积。

答案：
解：（1）如图所示，过点$D$作$DE⊥AB$， 垂足为$E$，过点$C$作$CF⊥AB$，垂足为$F$.由条件可得$∠ADE=30^{\circ }$.因为$AD=x$，所以$AE=\frac {1}{2}x$，$DE=\frac {\sqrt {3}}{2}x$.故$AB=\frac {1}{2}x+x+\frac {1}{2}x=2x$，高$DE=CF=\frac {\sqrt {3}}{2}x$.
（2）$y=\frac {1}{2}(x+2x)×\frac {\sqrt {3}}{2}x=\frac {3\sqrt {3}}{4}x^{2}$.
（3）当$x=2$时，$y=3\sqrt {3}$；当$x=4$时，$y=12\sqrt {3}$.

在关于 $ x $ 的函数 $ y = ax^{2}+bx + c $ 中,当 $ a $,$ b $,$ c $ 分别为何值时,是一次函数？当 $ a $,$ b $,$ c $ 分别为何值时,是正比例函数？

答案： 当$a=0$，$b≠0$时，是一次函数；当$a=0$，$c=0$，$b≠0$时，是正比例函数.