《2025年能力培养与测试九年级数学上册人教版》

7. 如图 23.2 - 22 所示,在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB = AC $,若将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ C $ 顺时针旋转 $ 180^{\circ} $,得到 $ \triangle FEC $。
(1)猜想 $ AE $ 与 $ BF $ 的关系,并加以证明。
(2)当 $ \angle ACB $ 为多少度时,四边形 $ ABFE $ 为矩形？请说明理由。

答案： 解:
(1)AE=BF，利用中心对称，证明四边形ABFE是平行四边形.
(2)当∠ACB = 60°时，四边形ABFE为矩形，理由略.

8. 如图 23.2 - 23 所示,已知 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle CDA $ 关于点 $ O $ 对称,过点 $ O $ 作直线 $ EF $ 分别交 $ AD $, $ BC $ 于点 $ E $, $ F $。
(1)四边形 $ ABCD $ 是中心对称图形吗？为什么？
(2) $ \triangle AOE $ 和 $ \triangle COF $ 中心对称吗？为什么？

答案： 解:
(1)是.因为△ABC与△CDA关于点O对称，所以△ABC≌△CDA.所以AD = BC，AB = CD.所以四边形ABCD是平行四边形.所以▱ABCD是中心对称图形.
(2)两三角形中心对称，由
(1)中结论，可得OA = OC，∠AOE = ∠COF，∠OEA = ∠OFC，所以△AOE≌△COF，所以△FOC绕点O旋转180°与△EOA重合，故两三角形中心对称.