《2025年能力培养与测试九年级数学上册人教版》

【延伸·探索】如图 22.1 - 19 所示,已知抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $,有下列结论：① $ abc \lt 0 $；② $ 2a + b \gt 0 $；③ $ 2a - b \lt 0 $；④ $ a + b + c \gt 0 $；⑤ $ a - b + c \lt 0 $。其中正确的有( )。


A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

答案： D（解析：因为抛物线的开口向上，所以 $ a＞0 $. 因为对称轴在 $ y $ 轴的左侧，所以 $ b＞0 $. 因为抛物线与 $ y $ 轴的交点在 $ y $ 轴的负半轴上（在原点的下方），所以 $ c＜0 $. 所以①②正确. 因为 $ -\dfrac{b}{2a}＞-1 $，所以 $ \dfrac{b}{2a}＜1 $，所以 $ 2a-b＞0 $，所以③错误. 当 $ x=1 $ 时，对应的点在 $ x $ 轴的上方，纵坐标 $ y＞0 $，此时 $ y=a+b+c＞0 $，所以④正确. 当 $ x=-1 $ 时，对应点在 $ x $ 轴的下方，纵坐标 $ y＜0 $，此时 $ y=a-b+c＜0 $，所以⑤正确. 综上所述，①②④⑤均正确，故选 D.）

1. 将二次函数 $ y = x^{2}-4x + 5 $ 化成 $ y = a(x - h)^{2}+k $ 的形式为 $ y = $____。

答案： $ (x-2)^{2}+1 $（解析：$ y=x^{2}-4x+4+1=(x-2)^{2}+1 $.）

2. 抛物线 $ y = x^{2}-2x + 3 $ 的顶点坐标是____。

答案： （1，2）（解析：$ y=(x-1)^{2}+2 $.）

3. 已知二次函数 $ y = -x^{2}+4x + m - 2 $ 的最大值为 $ -5 $,则 $ m = $____。

答案： -7（解析：$ y=-x^{2}+4x+m-2=-(x^{2}-4x+4-m+2-4)=-(x-2)^{2}+2+m $，由条件得 $ 2+m=-5 $，故 $ m=-7 $.）

4. 某心理学家发现,学生对概念的接受能力 $ y $ 与提出概念所用的时间 $ x $(单位：$ \min $)之间满足函数解析式 $ y = -0.1x^{2}+2.6x + 43 $($ 0\leqslant x\leqslant 30 $),$ y $ 的值越大,表示接受能力越强。
(1)$ x $ 在什么范围内,学生的接受能力逐步增强？$ x $ 在什么范围内,学生的接受能力逐步下降？
(2)在第 10 分钟时,学生的接受能力是多少？
(3)在第几分钟时,学生的接受能力最强？

答案： 解：（1）$ y=-0.1x^{2}+2.6x+43=-0.1(x-13)^{2}+59.9 $. 故当 $ 0\leqslant x\leqslant 13 $ 时，学生的接受能力逐步增强；当 $ 13＜x\leqslant 30 $ 时，学生的接受能力逐步下降.（2）当 $ x=10 $ 时，$ y=-0.1×(10-13)^{2}+59.9=59 $. 即在第 10 分钟时，学生的接受能力为 59.（3）当 $ x=13 $ 时，$ y $ 有最大值，所以在第 13 min 时，学生的接受能力最强.

已知抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(1, 0) $,$ B(3, 0) $ 且过点 $ C(0, -3) $,试求此抛物线的解析式。

答案： 解：设 $ y=a(x-1)(x-3) $，将点（0，-3）代入解得 $ a=-1 $，故抛物线的解析式为 $ y=-(x-1)(x-3)=-x^{2}+4x-3 $.