《2025年能力培养与测试九年级数学上册人教版》

1. 如图23.1-29,在等腰直角三角形ABC中,P为斜边BC的中点,以P为顶点的直角的两边分别与边AB,AC交于点E,F,连接EF,当∠EPF旋转时(点E不与A,B重合),试探究PE,PF,EF之间的数量关系。

答案：
解:如图，连接AP.
∵ △ABC为等腰直角三角形，P为BC边的中点，

∴ AP⊥BC，且∠BAP=∠CAP=45°=∠C，AP=BP=CP.
∵ ∠APE+∠APF=90°，∠CPF+∠APF=90°，
∴ ∠APE=∠CPF.
在△AEP与△CFP中，$\left\{\begin{array}{l} ∠EAP=∠C,\\ AP=CP,\\ ∠APE=∠CPF,\end{array}\right. $
∴ △AEP≌△CFP.
∴ PE=PF.
∴ △PEF为等腰直角三角形.
∴ EF=$\sqrt {2}PE=\sqrt {2}PF$.

2. 如图23.1-30所示,点A,C,B在一条直线上,△ACD,△ECB都是等边三角形,画出△ACE以点C为旋转中心,顺时针旋转60°后的三角形。若旋转后的图形的某一边与CE交于点H。
求证：CG= CH。

答案： 证明:连接BD交CE于点H，△BCD就是△ACE以点C为旋转中心，顺时针旋转60°后得到的三角形.
由旋转性质知△BCD≌△ECA，
∴ ∠DBC=∠AEC.
在△CGE和△CHB中，$\left\{\begin{array}{l} ∠GCE=∠HCB=60^{\circ },\\ CE=CB,\\ ∠GEC=∠HBC,\end{array}\right. $
∴ △CGE≌△CHB（ASA），
∴ CG=CH.