《2025年能力培养与测试九年级数学上册人教版》

当$m$为何值时,关于$x的方程(m + 2)x^{2}+2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根？
【解答】

答案： 解：由题意，知m+2≠0，即m≠-2.
因为方程有两个不相等的实数根，
所以Δ=2² - 4(m+2)×(-1)＞0，
即4m + 12＞0，解得m＞-3.
所以m＞-3，且m≠-2，
即当m＞-3，且m≠-2时，方程有两个不相等的实数根.

1. 一元二次方程$2x^{2}= 2x + 1$化为一般形式为______,这时$a= $______,$b= $______,$c= $______,$b^{2}-4ac= $______。

答案： 2x² - 2x - 1=0 2 -2 -1 12

2. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}+kx + 1 = 0$有两个相等的实数根,则$k= $______。

答案： ±2

3. 若关于$x的方程4x^{2}-8x + k = 0$有两个不相等的实数根,则$k$的取值范围是______。

答案： k＜4

4. 下列方程中,有两个不相等的实数根的是( )。

A.$x^{2}= 3x - 8$
B.$x^{2}+5x= -10$
C.$7x^{2}-14x + 7 = 0$
D.$x^{2}-7x= -5x + 3$

答案： D

5. 若关于$x的一元二次方程kx^{2}-2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根,则$k$的取值范围是( )。

A.$k＞-1$
B.$k＜1$,且$k≠0$
C.$k\geq - 1$,且$k≠0$
D.$k＞-1$,且$k≠0$

答案： D

6. 已知关于$x的一元二次方程(a + c)x^{2}-2bx - a + c = 0$有两个相等的实数根,则以$a$,$b$,$c$为边的三角形为( )。

A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形

答案： C

7. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}+2x - a = 0$有两个相等的实数根。
(1)求$a$的值；
(2)求方程的根。

答案： （1）Δ=4 - 4×1×(-a)=0，a=-1.
（2）由（1）知方程为x² + 2x + 1=0，即(x + 1)²=0，所以x₁=x₂=-1.

8. 已知关于$x的方程x^{2}-(k + 2)x + 2k = 0$。
(1)求证：无论$k$取何实数,方程总有实数根；
(2)若等腰$\triangle ABC的一边长a = 1$,另两边长$b$,$c$恰好是这个方程的两根,求$\triangle ABC$的周长。

答案： （1）证明：因为Δ=[-(k + 2)]² - 4×2k=(k - 2)²≥0，所以原方程总有实数根.
（2）解：分两种情况讨论：
①当b=c时，因为b，c是方程的根，
所以Δ=(k - 2)²=0，k=2，原方程为x² - 4x + 4=0，
解得x₁=x₂=2，所以b=c=2.
此时a，b，c符合三角形的三边关系，故△ABC的周长为5.
②当b，c中有一个与a相等时，不妨设b=a=1.
因为b是方程的根，所以1² - (k + 2)×1 + 2k=0，解得k=1，
所以方程化为x² - 3x + 2=0，解得x₁=1，x₂=2，
所以c=2，这与a + b＞c矛盾，故a不能为腰长.
所以△ABC的周长为5.