《2025年能力培养与测试九年级数学上册人教版》

【延伸·探索】 已知抛物线 $ y = -x^2 $ 与直线 $ y = 3x + h $ 都经过点 $ (1, k) $。
(1)求 $ h $,$ k $ 的值；
(2)如果一条过原点且对称轴是 $ y $ 轴的抛物线恰经过点 $ (h, k) $,能否确定此抛物线的解析式？
【解答】

答案： 解：（1）把点 $ (1,k) $ 代入 $ y=-x^{2} $ 中，有 $ k=-1^{2}=-1 $. 把点 $ (1,-1) $ 代入 $ y=3x+h $，有 $ -1=3×1+h $，所以 $ h=-4 $. 故 $ h $，$ k $ 的值分别为 $ h=-4 $，$ k=-1 $. （2）由题意可设所求抛物线的解析式为 $ y=ax^{2} $. 把点 $ (-4,-1) $ 代入 $ y=ax^{2} $，有 $ -1=a×(-4)^{2} $，可得 $ a=-\dfrac{1}{16} $. 所以所求抛物线的解析式为 $ y=-\dfrac{1}{16}x^{2} $.

要确定抛物线 $ y = ax^2 $ 的解析式,必须知道这条抛物线上的几个点？与同学交流一下。

答案： 因为 $ y=ax^{2} $ 中只有一个待定的系数，所以只要知道这条抛物线上的一点（除原点），就能确定 $ y=ax^{2} $ 的解析式.

1. 如果点 $ A(-2, a) $ 是抛物线 $ y = x^2 $ 上的点,那么 $ a = $______。

答案： 4（解析：将点 $ A(-2,a) $ 代入 $ y=x^{2} $，得 $ a=4 $.）

2. 当 $ a = $______时,抛物线 $ y = ax^2 $ 与 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $ 的开口大小相同,方向相反。

答案： $ \dfrac{1}{4} $（解析：$ |a| $ 决定抛物线的开口大小，$ a $ 的正负决定开口方向.）

3. 若抛物线 $ y = ax^2 $ 过点 $ P(-2, 4) $,则必过点( )。

A.$ (2, 4) $
B.$ (-2, -4) $
C.$ (-4, 2) $
D.$ (4, -2) $

答案： A（解析：点 $ (2,4) $ 与点 $ P(-2,4) $ 关于 $ y $ 轴对称.）

4. 如图 22.1 - 4 是桥拱的截面示意图,其为抛物线形,解析式为 $ y = -\frac{1}{4}x^2 $。当水面离桥顶的高度是 $ 4m $ 时,水面的宽 $ MN $ 是多少米？

答案： 解：令 $ y=-4 $，即有 $ -4=-\dfrac{1}{4}x^{2} $，则 $ x^{2}=4^{2} $，$ x=\pm4 $. 故点 $ M(-4,-4) $，$ N(4,-4) $，所以 $ MN=8\ m $. 答：水面的宽 $ MN $ 为 $ 8\ m $.

5. 已知二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象与直线 $ y = x + 2 $ 交于点 $ (2, m) $。
(1)判断函数 $ y = ax^2 $ 的图象的开口方向,并说出其对称轴、顶点坐标以及当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而变化的情况；
(2)设直线 $ y = x + 2 $ 与抛物线 $ y = ax^2 $ 的交点分别为 $ A $,$ B $,如图 22.1 - 5 所示,试确定 $ A $,$ B $ 两点的坐标；
(3)连接 $ OA $,$ OB $,求 $ \triangle AOB $ 的面积。

答案： 解：（1）将点 $ (2,m) $ 代入 $ y=ax^{2} $，即有 $ 4a=m $. 再将点 $ (2,m) $ 代入 $ y=x+2 $，即有 $ m=2+2=4 $. 则 $ 4a=4 $，解得 $ a=1 $. 故该函数 $ y=x^{2} $ 的图象开口向上，其对称轴为 $ y $ 轴，顶点坐标为 $ (0,0) $，当 $ x＞0 $ 时，$ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而增大. （2）解方程组 $ \begin{cases} y=x+2, \\ y=x^{2}, \end{cases} $ 得 $ \begin{cases} x_{1}=2, \\ y_{1}=4 \end{cases} $ 或 $ \begin{cases} x_{2}=-1, \\ y_{2}=1 \end{cases} $. 故 $ A $，$ B $ 两点的坐标分别为 $ (2,4) $ 和 $ (-1,1) $. （3）连接 $ OA $，$ OB $. 设直线 $ y=x+2 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ C $，则点 $ C $ 的坐标为 $ (0,2) $. 故 $ S_{\triangle AOB}=S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}=\dfrac{1}{2}×2×1+\dfrac{1}{2}×2×2=3 $.

已知点 $ (-2, y_1) $,$ (-3, y_2) $,$ (4, y_3) $ 在函数 $ y = ax^2 $($ a ＞ 0 $)的图象上。试比较 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的大小。

答案： 比较函数值常用的方法有三种：（1）代入法：将自变量的值代入解析式，直接求出函数值进行比较；（2）图象法：画出二次函数的图象（简图），根据自变量在图象上标出点的位置，从而得出函数值的大小；（3）性质法：根据二次函数的性质，由自变量的大小关系得出函数值的大小关系. 易得 $ y_{1}＜y_{2}＜y_{3} $.