《2025年实验班提优训练七年级数学上册浙教版》

【例1】(全国初中数学竞赛)如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差,那么称这个正整数为“和谐数”。如：$2= 1^{3}-(-1)^{3}$,$26= 3^{3}-1^{3}$,2和26均为“和谐数”。那么不超过2020的正整数中,所有的“和谐数”之和为( )B。
A.6858
B.6860
C.9260
D.9262
解析：$\because 1^{3}-(-1)^{3}= 2$,$3^{3}-1^{3}= 26$,$5^{3}-3^{3}= 98$,…,$19^{3}-17^{3}= 1946$,$21^{3}-19^{3}= 2402$,∴不超过2020的“和谐数”为2,26,98,…,1946,它们的和为$[1^{3}-(-1)^{3}]+(3^{3}-1^{3})+(5^{3}-3^{3})+\dots +(17^{3}-15^{3})+(19^{3}-17^{3})= 19^{3}+1= 6860$。
答案：B

答案： 解：设两个连续奇数为$2n-1$和$2n+1$（$n$为整数），则“和谐数”可表示为$(2n+1)^{3}-(2n-1)^{3}$。
$\begin{aligned}(2n+1)^{3}-(2n-1)^{3}&=[(2n)^{3}+3(2n)^{2}×1+3(2n)×1^{2}+1^{3}]-[(2n)^{3}-3(2n)^{2}×1+3(2n)×1^{2}-1^{3}]\\&=8n^{3}+12n^{2}+6n+1-(8n^{3}-12n^{2}+6n-1)\\&=8n^{3}+12n^{2}+6n+1-8n^{3}+12n^{2}-6n+1\\&=24n^{2}+2\end{aligned}$
令$24n^{2}+2\leq2020$，则$24n^{2}\leq2018$，$n^{2}\leq\frac{2018}{24}\approx84.08$，$n$为非负整数，$n=0,1,2,\cdots,9$。
当$n=0$时，$24×0^{2}+2=2=1^{3}-(-1)^{3}$；
$n=1$时，$24×1^{2}+2=26=3^{3}-1^{3}$；
$n=2$时，$24×2^{2}+2=98=5^{3}-3^{3}$；
$\cdots$
$n=9$时，$24×9^{2}+2=24×81 + 2=1944 + 2=1946=19^{3}-17^{3}$；
$n=10$时，$24×10^{2}+2=2402＞2020$（舍去）。
所有“和谐数”之和为：
$\begin{aligned}&[1^{3}-(-1)^{3}]+(3^{3}-1^{3})+(5^{3}-3^{3})+\cdots+(19^{3}-17^{3})\\=&19^{3}-(-1)^{3}\\=&6859 + 1\\=&6860\end{aligned}$
答案：B

【例2】在±1,±2,±3,±5,±20中,适当选择“＋”“－”号,可以得到不同代数和的个数是______24。

答案： 解：1,2,3,5,20中有三个奇数，代数和必为奇数。
1,2,3,5可得到绝对值≤11的所有奇数：±1,±3,±5,±7,±9,±11。
所有数参与运算，代数和为±20加或减上述奇数，得正奇数9,11,13,…,31（12个）和负奇数-9,-11,…,-31（12个）。
共计24个不同代数和。
答案：24

1.(第十三届“枫叶新希望杯”全国数学竞赛)从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数中选取3个数相加,和为偶数的取法共有(A)。
A.60种
B.70种
C.80种
D.90种

答案： 1.A ［解析］有两种情况：偶+奇+奇，有5×10=50(种)；偶+偶+偶，有10种.故和为偶数的取法共有50+10=60(种).故选A.

2.(第二十届“希望杯”全国数学邀请赛)古代科举考试以四书五经为主要考试内容。据统计,《论语》11705字,《孟子》34685字,《易经》24107字,《书经》25700字,《诗经》39234字,《礼记》99010字,《左传》196845字。根据以上数据计算,《论语》字数占这7本书总字数的2.7%。(精确到0.1%)

答案： 2.2.7 ［解析］
∵四书五经的总字数为11705+34685+24107+25700+39234+99010+196845=431286，
∴《论语》字数占这7本书总字数的11705÷431286×100%≈2.7%.

3.符号“f”表示一种运算,它对一些数的运算结果是：
①$f(1)= 0$,$f(2)= 1$,$f(3)= 2$,$f(4)= 3$,…；
②$f\left(\frac{1}{2}\right)= 2$,$f\left(\frac{1}{3}\right)= 3$,$f\left(\frac{1}{4}\right)= 4$,$f\left(\frac{1}{5}\right)= 5$,…。
利用以上规律计算：
$f\left(\frac{1}{2025}\right)-f(2025)= $1。

答案： 3.1 ［解析］①f
(1)=0，f
(2)=1，f
(3)=2，f
(4)=3，…；$②f\left(\frac{1}{2}\right)=2，$$f\left(\frac{1}{3}\right)=3，$$f\left(\frac{1}{4}\right)=4，$$f\left(\frac{1}{5}\right)=5，$…，
∴$f\left(\frac{1}{2025}\right)-f(2025)=2025-2024=1.$

4.三个互不相等的有理数,既可以表示为1,$a+b$,a的形式,也可以表示为0,$\frac{b}{a}$,b的形式,试求$a^{2024}+b^{2025}$的值。

答案： 4.由于三个互不相等的有理数，既可以表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为0，$\frac{b}{a}$，b的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等.于是可以判定a+b与a中有一个是0，$\frac{b}{a}$与b中有一个是1，但若a=0，会使$\frac{b}{a}$无意义，
∴a≠0，只能a+b=0，即a=-b，于是$\frac{b}{a}$=-1.只能是b=1，于是a=-1，
∴原式=(-1)$^{2024}$+1$^{2025}$=2.