《2025年实验班提优训练七年级数学上册浙教版》

14.(1)解方程:$x-\frac {1-x}{3}= \frac {x+2}{6}-1.$
(2)在做作业时,有一种方程“$2y-\frac {1}{2}= \frac {1}{2}y+$■”中的■没印清,小聪问老师,老师只是说:“■是一个有理数,该方程的解与方程$5(x-1)-2(x-2)-4= 1$的解相同,”小聪很快补上了这个常数,同学们,你们能补上这个常数吗?

答案：
(1)$x-\frac{1-x}{3}=\frac{x+2}{6}-1$,去分母,得$6x-2(1-x)=x+2-6$,去括号,得$6x-2+2x=x+2-6$,移项,得$6x+2x-x=2-6+2$,合并同类项,得$7x=-2$,系数化为1,得$x=-\frac{2}{7}$.
(2)设"■"表示 的数是a,解方程$5(x-1)-2(x-2)-4=1$,得$x=2$.
∵两方程的解相同,
∴$y=x=2$,
∴把$y=2$代入方程$2y-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}y+a$,得$4-\frac{1}{2}=1+a$,解得$a=\frac{5}{2}$.故这个常数为$\frac{5}{2}$.

15. 在学习一元一次方程后,我们给出一个定义:若$x_{0}$是关于x的一元一次方程$ax+b= 0(a≠0)$的解,$y_{0}$是关于y的方程的所有解的其中一个解,且$x_{0},y_{0}满足x_{0}+y_{0}= 99$,则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“久久方程”.例如:一元一次方程$3x-2x-98= 0的解是x_{0}= 98$,方程$|y|+1= 2的所有解是y= 1或y= -1$,当$y_{0}= 1,x_{0}+y_{0}= 99$,所以$|y|+1= 2为一元一次方程3x-2x-98= 0$的“久久方程”.
(1)已知关于y的方程:①$2y-2= 4$,②$|y|= 2$,其中哪个方程是一元一次方程$3(x-1)= 2x+98$的“久久方程”?请直接写出正确的序号 ②;
(2)若关于y的方程$|2y-2|+2= 4$是关于x的一元一次方程$x-\frac {3x-2a}{4}= a+\frac {3}{4}$的“久久方程”,请求出a的值.48或47
(3)若关于y的方程$a|y-49|+a+b= \frac {a(y+6)}{50}$是关于x的一元一次方程$ax+50b= 55a$的“久久方程”,求出$\frac {a+b}{b}$的值.11

答案：
(1)② 解析 $3(x-1)=2x+98$的解为$x_0=101$,方程$2y-2=4$的解是$y=3$,$x_0+y_0≠99$,故不是"久久方程";方程$|y|=2$的解是$y=2$或$y=-2$,当$y_0=-2$时,$x_0+y_0=99$,故是"久久方程".
(2)方程$|2y-2|+2=4$的解是$y=2$或$y=0$,一元一次方程$x-\frac{3x-2a}{4}=a+\frac{3}{4}$的解是$x=2a+3$,若$y_0=0$,$x_0+y_0=99$,则$2a+3+0=99$,解得$a=48$;若$y_0=2$,$x_0+y_0=99$,则$2a+3+2=99$,解得$a=47$.故a的值为48或47.
(3)解方程$ax+50b=55a$,得$x=\frac{55a-50b}{a}=55-\frac{50b}{a}$.
∵$x_0+y_0=99$,
∴$y_0=99-x=44+\frac{50b}{a}$.
∵$a|y-49|+a+b=\frac{a(y+6)}{50}$,
∴$a\left|44+\frac{50b}{a}-49\right|+a+b=\frac{a\left(44+\frac{50b}{a}+6\right)}{50}$,整理,得$a\left|\frac{50b}{a}-5\right|=0$.
∵分母a不能为0,
∴$\frac{50b}{a}-5=0$,即$\frac{a}{b}=10$,
∴$\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+1=11$.故$\frac{a+b}{b}$的值为11.

16. 中考新考法 新定义问题 对于三个数a,b,c,我们规定M$\{ a,b,c\} $表示这三个数的平均数,min$\{ a,b,c\} $表示这三个数中最小的数.例如$M\{ 1,-3,8\} = \frac {1+(-3)+8}{3}= 2$,min$\{ 1,-3,8\} = -3$.若$M\{ 3,2x+1,4x-1\} = min\{ x,3,7-x\} $,则x的值为(A).
A.-1
B.-1或1
C.-1或2
D.-1或1或2

答案： A 解析 当$M\{3,2x+1,4x-1\}=x$时,根据题意,得$\frac{3+2x+1+4x-1}{3}=x$,解得$x=-1$.此时,$\min\{x,3,7-x\}=\min\{-1,3,8\}=-1$,符合题意;当$M\{3,2x+1,4x-1\}=3$时,根据题意,得$\frac{3+2x+1+4x-1}{3}=3$,解得$x=1$.此时,$\min\{x,3,7-x\}=\min\{1,3,6\}=1$,不符合题意;当$M\{3,2x+1,4x-1\}=7-x$时,根据题意,得$\frac{3+2x+1+4x-1}{3}=7-x$,解得$x=2$.此时,$\min\{x,3,7-x\}=\min\{2,3,5\}=2$,不符合题意.综上所述,x的值为-1.故选A.
归纳总结 新定义题是近年的热点,它的实质是一种规定,规定某种运算方式,规定某个概念的特征性质,然后要求考生按照规定去计算、求值,理解概念解决问题.

17. 分类讨论思想 先阅读下列解题过程,然后解答后面两个问题.
解方程:$|x+3|= 2.$
解:当$x+3≥0$时,原方程可化为$x+3= 2$,解得$x= -1;$
当$x+3＜0$时,原方程可化为$x+3= -2$,解得$x= -5,$
所以原方程的解是$x= -1或x= -5.$
(1)解方程:$|3x-2|-4= 0.$
(2)当b为何值时,关于x的方程$|x-2|= b+1$:①无解;②只有一个解;③有两个解.

答案：
(1)当$3x-2\geq0$时,原方程可化为$3x-2=4$,解得$x=2$;当$3x-2＜0$时,原方程可化为$3x-2=-4$,解得$x=-\frac{2}{3}$.故原方程的解是$x=2$或$x=-\frac{2}{3}$.
(2)①当$b+1＜0$,即$b＜-1$时,方程无解;②当$b+1=0$,即$b=-1$时,方程只有一个解;③当$b+1＞0$,即$b＞-1$时,方程有两个解.
素养考向 本题主要考查了一元一次方程的解法,也考查了数学学科核心素养中的抽象能力,通过分类讨论的方法解绝对值方程,有利于培养学生的运算能力.