《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

13. 如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,分别以点 B,C 为圆心,$\frac {1}{2}AC,\frac {1}{2}BD$长为半径画弧,两弧交于点 P,连接 BP,CP.
(1) 试判断四边形 BPCO 的形状,并说明理由;
四边形 BPCO 是平行四边形。理由如下：∵ 平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，∴ AO=OC，BO=OD。∵ 分别以点 B，C 为圆心，$\frac{1}{2}AC$，$\frac{1}{2}BD$ 长为半径画弧，两弧交于点 P，∴ BP=$\frac{1}{2}AC$=OC，CP=$\frac{1}{2}BD$=OB，∴ 四边形 BPCO 是平行四边形。
(2) 请说明当平行四边形 ABCD 的对角线满足什么条件时,四边形 BPCO 是正方形.
当平行四边形 ABCD 的对角线满足AC=BD 且 AC⊥BD时，四边形 BPCO 是正方形。

答案：
(1) 四边形 $BPCO$ 是平行四边形。理由如下：
∵ 平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，
∴ $AO=OC$，$BO=OD$。
∵ 分别以点 $B$，$C$ 为圆心，$\frac{1}{2}AC$，$\frac{1}{2}BD$ 长为半径画弧，两弧交于点 $P$，
∴ $BP=\frac{1}{2}AC=OC$，$CP=\frac{1}{2}BD=OB$，
∴ 四边形 $BPCO$ 是平行四边形。
(2)
∵ 对角线相等、互相平分且垂直的四边形是正方形，
∴ 当 $AC=BD$ 且 $AC\perp BD$ 时，四边形 $BPCO$ 是正方形。