《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

1. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{x}{x - 1} - 2 = \frac{k}{1 - x} $ 的解为正数，则 $ k $ 的取值范围为(B).
A. $ - 2 \lt k \lt 0 $
B. $ k \gt - 2 $ 且 $ k \neq - 1 $
C. $ k \gt - 2 $
D. $ k \lt 2 $ 且 $ k \neq 1 $

答案： B

2. 解方程 $ \frac{x}{x^{2} - 1} + \frac{x^{2} - 1}{3x} = \frac{4}{3} $ 时，设 $ y = \frac{x}{x^{2} - 1} $，则原方程化成关于 $ y $ 的整式方程是(C).
A. $ y + \frac{1}{3y} = \frac{4}{3} $
B. $ 3y^{2} + 1 = \frac{4}{3} $
C. $ 3y^{2} + 1 = 4y $
D. $ 3y^{2} + 3 = 4y $

答案： C

3. 若 $ \frac{4x - 9}{3x^{2} - x - 2} = \frac{A}{3x + 2} - \frac{B}{x - 1} $ ( $ A $，$ B $ 为常数)，则 $ A $，$ B $ 的值为(B).
A. $ \begin{cases} A = 4 \\ B = - 9 \end{cases} $
B. $ \begin{cases} A = 7 \\ B = 1 \end{cases} $
C. $ \begin{cases} A = 1 \\ B = 7 \end{cases} $
D. $ \begin{cases} A = - 35 \\ B = 13 \end{cases} $

答案： B

4. 对于实数 $ a $，$ b $，定义一种新运算“$ \otimes $”：$ a \otimes b = \frac{1}{a - b^{2}} $，这里等式右边是实数运算. 例如：$ 1 \otimes 3 = \frac{1}{1 - 3^{2}} = - \frac{1}{8} $，则方程 $ x \otimes ( - 2 ) = \frac{2}{x - 4} - 1 $ 的解是(A).
A. $ x = 5 $
B. $ x = 6 $
C. $ x = 7 $
D. 无解

答案： A

5. 《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作，该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.” 大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为 6210 文. 如果每株椽的运费是 3 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱. 试问 6210 文能买多少株椽？设 6210 文能买 x 株椽，则符合题意的方程是(C).
A. $ 3 ( x - 1 ) = \frac{6210}{x - 1} $
B. $ 3 ( x - 1 ) = 6210 $
C. $ 3 ( x - 1 ) = \frac{6210}{x} $
D. $ \frac{6210}{x - 1} = 3x $

答案： C