《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

13. 如图 1，四边形 $ ABCD $ 是正方形，点 $ G $ 是 $ BC $ 边上任意一点，$ DE \perp AG $ 于点 $ E $，$ BF \perp AG $ 于点 $ F $。
(1) 求证：$ DE - BF = EF $；
(2) 当点 $ G $ 为 $ BC $ 边的中点时，试探究线段 $ EF $ 与 $ GF $ 之间的数量关系，并说明理由；
(3) 若点 $ G $ 为 $ CB $ 延长线上一点，其余条件不变，请你在图 2 中画出图形，写出此时 $ DE $，$ BF $，$ EF $ 之间的数量关系(不需要证明)。
(1) 先证 $ \triangle ADE \cong \triangle BAF$，$\therefore AE = BF$，$DE = AF$，$\therefore DE - BF = AF - AE = EF$。
(2) $EF = 2 FG$。理由如下：设 $BG = a$，则 $AB = 2a$，$\therefore AG = \sqrt{a^{2} + ( 2a )^{2}} = \sqrt{5} a$，$\therefore BF = \frac{2a × a}{\sqrt{5} a} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} a$，$GF = \sqrt{a^{2} - \frac{4}{5} a^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{5} a$，$DE = AF = \sqrt{4a^{2} - \frac{4}{5} a^{2}} = \frac{4 \sqrt{5}}{5} a$，由 (1) $EF = DE - BF = \frac{2 \sqrt{5}}{5} a$，$\therefore EF = 2 GF$。
(3) $DE + BF = EF$。

答案：
(1) 先证 $ \triangle ADE \cong \triangle BAF$，$\therefore AE = BF$，$DE = AF$，$\therefore DE - BF = AF - AE = EF$。
(2) $EF = 2 FG$。理由如下：设 $BG = a$，则 $AB = 2a$，$\therefore AG = \sqrt{a^{2} + ( 2a )^{2}} = \sqrt{5} a$，$\therefore BF = \frac{2a \times a}{\sqrt{5} a} = \frac{2 \sqrt{5}}{5} a$，$GF = \sqrt{a^{2} - \frac{4}{5} a^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{5} a$，$DE = AF = \sqrt{4a^{2} - \frac{4}{5} a^{2}} = \frac{4 \sqrt{5}}{5} a$，由
(1) $EF = DE - BF = \frac{2 \sqrt{5}}{5} a$，$\therefore EF = 2 GF$。
(3) $DE + BF = EF$。