《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

13. 如图,在$△ABC$中,$∠ACB=90^{\circ },AC=BC$,点 P 在斜边 AB 上,以 PC 为直角边作等腰直角三角形 PCQ,$∠PCQ=90^{\circ }$.试探究$PA^{2},PB^{2},PQ^{2}$三者之间的数量关系,并加以证明.

答案：
13.PA²+PB²=PQ².　证明: 如右图，过点C作CD⊥AB,交AB于点D,
∵△ACB为等腰直角三角形，
∴CD = AD = DB.
∵PA²=(AD - PD)²=(CD - PD)²=CD² - 2CD·PD + PD²,PB²=(BD + PD)²=(CD + PD)²=CD² + 2CD·PD + PD²,
∴PA²+PB²=2CD²+2PD²=2(CD² + PD²).在Rt△PCD中,由勾股定理,得PC²=CD² + PD²,
∴PA²+PB²=2PC².又
∵△CPQ为等腰直角三角形,且∠PCQ = 90°,
∴2PC²=PQ²,
∴PA²+PB²=PQ².