《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

5. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式. 后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理. 如下图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若 $ a = 3 , b = 4 $，则该矩形的面积为(B).

A. 20
B. 24
C. $ \frac { 99 } { 4 } $
D. $ \frac { 53 } { 2 } $

答案： B

6. 如下左图，$ \angle A O B = 60 ^ { \circ } $，点 $ C $ 在 $ O B $ 上，$ O C = 2 \sqrt { 3 } $，$ P $ 为 $ \angle A O B $ 内一点. 根据图中尺规作图痕迹推断，点 $ P $ 到 $ O A $ 的距离为______1.

答案： 1

7. 如上右图所示的网格是正方形网格，则 $ \angle P A B + \angle P B A = $______45°(点 $ A , B , P $ 均是网格线交点).

答案： 45°

8. 如下左图，$ \triangle A B C $ 的顶点 $ B , C $ 的坐标分别是 $ ( 1,0 ) , ( 0 , \sqrt { 3 } ) $，且 $ \angle A B C = 90 ^ { \circ } $，$ \angle A = 30 ^ { \circ } $，则顶点 $ A $ 的坐标为______(4,$\sqrt{3}$).

答案： (4,$\sqrt{3}$)

9. 如上右图，在 $ \triangle A B C $ 中，点 $ E $ 在边 $ A C $ 上，$ E B = E A $，$ \angle A = 2 \angle C B E $，$ C D $ 垂直于 $ B E $，交其延长线于点 $ D $，$ B D = 8 $，$ A C = 11 $，则边 $ B C $ 的长为______.

答案：
$ 4 \sqrt{5} $ [提示: 如右图，延长 $ BD $ 到点 $ F $，使得 $ DF = BD $. $ \because CD \perp BF $，$ \therefore \triangle BCF $ 是等腰三角形，$ \therefore BC = CF $，$ \therefore \angle CBE = \angle F $. 过点 $ C $ 作 $ CH // AB $，交 $ BF $ 于点 $ H $，$ \therefore \angle ABD = \angle CHD $，$ \angle A = \angle ACH $. 而 $ EB = EA $，$ \therefore \angle A = \angle ABD $，
$ \therefore \angle ACH = \angle CHD $，$ \therefore EC = EH $，$ \therefore AC = BH $. 又 $ \angle CHD = \angle A = 2 \angle CBD = 2 \angle F $，$ \therefore HF = HC $. $ \because BD = 8 $，$ AC = 11 $，$ \therefore DH = BH - BD = AC - BD = 3 $，$ \therefore HF = HC = 8 - 3 = 5 $. 在 $ \text{Rt} \triangle CDH $ 中，由勾股定理，知 $ CD = \sqrt{CH^{2} - DH^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4 $. 在 $ \text{Rt} \triangle BCD $ 中，$ BC = \sqrt{8^{2} + 4^{2}} = 4 \sqrt{5} $.