《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

12. 某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了$420$元，购买围棋用了$756$元，已知每副围棋比每副象棋贵$8$元。
(1) 求每副围棋和象棋各是多少元。
(2) 若该校决定再次购买同种围棋和象棋共$40$副，且再次购买的费用不超过$600$元，则该校最多可再购买多少副围棋？

答案：
(1) 每副围棋 18 元，每副象棋 10 元。
(2) 该校最多可再购买 25 副围棋。

13. 如图，在矩形$ABCD$中，$AB=6\mathrm{cm}$，$AD=2\mathrm{cm}$，动点$P$，$Q$分别从点$A$，$C$同时出发，点$P$以$2\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度向终点$B$移动，点$Q$以$1\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度向点$D$移动，当有一动点到达终点时，另一动点也停止运动。设运动的时间为$t\mathrm{s}$，问：

(1) 当$t$为何值时，点$P$和点$Q$之间的距离是$3\mathrm{cm}$？
(2) 当$t$为何值时，以点$P$，$Q$，$D$为顶点的三角形是以$PQ$为腰的等腰三角形？

答案：

(1) 如图 1，作 QE⊥AB 于点 E，∠PEQ = 90°。
∵∠B = ∠C = 90°，
∴四边形 BCQE 是矩形，
∴QE = BC = 2，BE = CQ = t。
∵AP = 2t，
∴PE = 6 - 2t - t = 6 - 3t。在 Rt△PQE 中，由勾股定理，得(6 - 3t)² + 4 = 9，解得 t₁ = $\frac{6 - \sqrt{5}}{3}$，t₂ = $\frac{6 + \sqrt{5}}{3}$。

如图 2，作 PE⊥CD 于点 E，
∴∠PEQ = 90°，PE = BC = 2，BP = CE = 6 - 2t，CQ = t，
∴QE = t - (6 - 2t) = 3t - 6。在 Rt△PEQ 中，由勾股定理，得(3t - 6)² + 4 = 9，解得 t₁ = $\frac{6 - \sqrt{5}}{3}$，t₂ = $\frac{6 + \sqrt{5}}{3}$。

综上所述，t₁ = $\frac{6 - \sqrt{5}}{3}$，t₂ = $\frac{6 + \sqrt{5}}{3}$。
(2) 如图 3，当 PQ = DQ 时，作 QE⊥AB 于点 E，
∴∠PEQ = 90°。
∵∠B = ∠C = 90°，
∴四边形 BCQE 是矩形，
∴QE = BC = 2，BE = CQ = t。
∵AP = 2t，
∴PE = 6 - 2t - t = 6 - 3t，DQ = 6 - t。
∵PQ = DQ，
∴PQ = 6 - t。在 Rt△PQE 中，由勾股定理，得(6 - 3t)² + 4 = (6 - t)²，解得 t₁ = $\frac{3 + \sqrt{7}}{2}$，t₂ = $\frac{3 - \sqrt{7}}{2}$。

如图 4，当 PD = PQ 时，作 PE⊥DQ 于 E，
∴DE = QE = $\frac{1}{2}$QD，∠PED = 90°。
∵∠A = ∠ADE = 90°，
∴四边形 ADEP 是矩形，
∴AP = DE。
∵DQ = 6 - t，
∴DE = $\frac{1}{2}$(6 - t)，
∴2t = $\frac{1}{2}$(6 - t)，解得 t = $\frac{6}{5}$。

综上所述，t = $\frac{3 + \sqrt{7}}{2}$，$\frac{3 - \sqrt{7}}{2}$，$\frac{6}{5}$。