《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

7. 已知方程$x^{2}-2024x+1=0$的两实数根分别为$x_{1}$，$x_{2}$，则$x_{1}^{2}-\frac{2024}{x_{2}}$的值为-1。

答案： -1

8. 关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2mx+m^{2}-m=0$的两实数根$x_{1}$，$x_{2}$满足$x_{1}x_{2}=2$，则$(x_{1}^{2}+2)(x_{2}^{2}+2)$的值是32。

答案： 32

9. 关于$x$的方程$mx^{2}+x-m+1=0$，有以下三个结论：①当$m=0$时，方程只有一个实数根；②当$m\neq0$时，方程有两个不相等的实数根；③无论$m$取何值，方程都有一个负数解。其中正确的是①③。

答案： ①③

10. 已知关于$x$的方程①$x^{2}-(1-2a)x+a^{2}-3=0$有两个不相等的实数根，且关于$x$的方程②$x^{2}-2x+2a-1=0$没有实数根。当$a$取什么整数时，方程①有整数解？3

答案： a = 3

|方程|用换元法得新方程|解新方程|检验|求原方程的解|
|----|----|----|----|----|
|$2\sqrt{x}-3=0$|令$\sqrt{x}=t$，则$2t-3=0$|$t=\frac{3}{2}$|$t=\frac{3}{2}＞0$|$\sqrt{x}=\frac{3}{2}$，所以$x=\frac{9}{4}$|
|$x+2\sqrt{x}-3=0$|令$\sqrt{x}=t$，则$t² + 2t - 3 = 0$|$t₁=1$，$t₂=-3$|$t₁=1＞0$，$t₂=-3＜0$（舍）|$\sqrt{x}=1$，所以$x=1$|
|$x+\sqrt{x-2}-4=0$|令$\sqrt{x-2}=t$，则$t² + t - 2 = 0$|$t₁=1$，$t₂=-2$|$t₁=1＞0$，$t₂=-2＜0$（舍）|$\sqrt{x-2}=1$，所以$x=3$|

答案： 方程：x + 2$\sqrt{x}$ - 3 = 0，用换元法：令$\sqrt{x}$ = t，则t² + 2t - 3 = 0，解新方程得t₁ = 1，t₂ = -3，检验：t₁ = 1 ＞ 0，t₂ = -3 ＜ 0（舍），求原方程的解：$\sqrt{x}$ = 1，
∴x = 1。
方程：x + $\sqrt{x - 2}$ - 4 = 0，用换元法：令$\sqrt{x - 2}$ = t，则t² + t - 2 = 0，解新方程得t₁ = 1，t₂ = -2，检验：t₁ = 1 ＞ 0，t₂ = -2 ＜ 0（舍），求原方程的解：$\sqrt{x - 2}$ = 1，
∴x = 3。