《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

11. 已知直角三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$c ＞ a ＞ b$。分别以$a$，$b$，$c$为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大的正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为$S_{1}$，均重叠部分的面积为$S_{2}$。试判断$S_{1}$与$S_{2}$的大小关系，并说明理由。

$S _ { 1 } = S _ { 2 } $。理由如下：$\because S _ { 1 } = c ^ { 2 } - a ^ { 2 } - ( b ^ { 2 } - S _ { 2 } ) $，$a$，$b$，$c$ 为直角三角形的三边长，且 $c ＞ a ＞ b$，$\therefore c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $，$\therefore S _ { 1 } = c ^ { 2 } - a ^ { 2 } - b ^ { 2 } + S _ { 2 } = S _ { 2 } $。

答案： $S _ { 1 } = S _ { 2 } $。理由如下：$\because S _ { 1 } = c ^ { 2 } - a ^ { 2 } - ( b ^ { 2 } - S _ { 2 } ) $，$a$，$b$，$c$ 为直角三角形的三边长，且 $c ＞ a ＞ b$，$\therefore c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $，$\therefore S _ { 1 } = c ^ { 2 } - a ^ { 2 } - b ^ { 2 } + S _ { 2 } = S _ { 2 } $。

12. 如图，网格中小正方形的边长均为$1$，$\triangle ABC$的三个顶点都在小正方形的格点上。
（1）请判断$\triangle ABC$是否是直角三角形，并说明理由；
（2）求点$C$到边$AB$的距离；
（3）借助网格，利用无刻度的直尺画出$BC$边上的中线$AD$。

答案：

(1) 不是直角三角形，理由：由题意，得 $BC = \sqrt{3 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt{10} $，$AC = \sqrt{2 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt{5} $，$AB = \sqrt{2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } } = \sqrt{13} $，$\because AB ^ { 2 } \neq AC ^ { 2 } + BC ^ { 2 } $，$\therefore \triangle ABC$ 不是直角三角形。
(2) 设点 $C$ 到边 $AB$ 的距离为 $h$，由
(1) 可得 $AB = \sqrt{13} $。又 $ \triangle ABC$ 的面积为 $ \frac{1}{2} AB \cdot h = 3 \times 3 - \frac{1}{2} \times 1 \times 2 - \frac{1}{2} \times 1 \times 3 - \frac{1}{2} \times 2 \times 3 $，$\therefore \frac{1}{2} \times \sqrt{13} h = \frac{7}{2} $，解得 $h = \frac{7 \sqrt{13} }{13} $。$\therefore $ 点 $C$ 到边 $AB$ 的距离为 $ \frac{7 \sqrt{13} }{13} $。
(3) 根据边 $BC$ 的特点找到矩形 $BFCE$，连接 $EF$，则 $BC$ 与 $EF$ 交于一点 $D$，即 $D$ 为 $BC$ 的中点，连接 $AD$，如图所示， 则 $AD$ 为 $BC$ 边上的中线。

13. 如图，某工程队准备从$A$到$B$修建一条隧道，测量员在直线$AB$的同一侧选定$C$，$D$两个观测点，测得$AC$长为$\frac{3}{2}\sqrt{2}km$，$CD$长为$\frac{3}{4}(\sqrt{2}+\sqrt{6})km$，$BD$长为$\frac{3}{2}km$，$\angle ACD = 60^{\circ}$，$\angle CDB = 135^{\circ}$（$A$，$B$，$C$，$D$在同一水平面内）。
（1）求$A$，$D$两点间的距离；
（2）求隧道$AB$的长。

答案：

(1) 如图，过 $A$ 点作 $AE \perp CD$ 于点 $E$，则 $ \angle AEC = \angle AED = 90 ^ { \circ } $。$\because \angle ACD = 60 ^ { \circ } $，$\therefore \angle CAE = 30 ^ { \circ } $。$\therefore CE = \frac{1}{2} AC = \frac{3}{4} \sqrt{2} ( \mathrm{km} ) $，$AE = \sqrt{3} CE = \frac{3}{4} \sqrt{6} ( \mathrm{km} ) $。$\therefore DE = CD - CE = \frac{3}{4} ( \sqrt{2} + \sqrt{6} ) - \frac{3}{4} \sqrt{2} = \frac{3}{4} \sqrt{6} ( \mathrm{km} ) $，$\therefore AE = DE $，$\therefore \triangle ADE$ 是等腰直角三角形。$\therefore AD = \sqrt{2} AE = \sqrt{2} \times \frac{3}{4} \sqrt{6} = \frac{3 \sqrt{3} }{2} ( \mathrm{km} ) $。
(2) 由
(1) 得 $ \triangle ADE$ 是等腰直角三角形，且 $AD = \frac{3 \sqrt{3} }{2} ( \mathrm{km} ) $，$\angle ADE = 45 ^ { \circ } $。$\because \angle CDB = 135 ^ { \circ } $，$\therefore \angle ADB = 135 ^ { \circ } - 45 ^ { \circ } = 90 ^ { \circ } $。$\therefore AB = \sqrt{AD ^ { 2 } + BD ^ { 2 } } = \sqrt{ \left( \frac{3 \sqrt{3} }{2} \right) ^ { 2 } + \left( \frac{3}{2} \right) ^ { 2 } } = 3 ( \mathrm{km} ) $，即隧道 $AB$ 的长为 $3 \mathrm{km} $。