《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

12. 如图，在等腰 $\triangle ABC$ 中，$\angle CAB = \angle B = 30^{\circ}$，点 $D$，$E$ 分别为 $AB$，$AC$ 的中点，延长 $BC$ 至点 $F$，使 $CF = \frac{1}{2}BC$，连接 $CD$，$EF$ 和 $AF$.
(1) 求证：四边形 $CDEF$ 为菱形；
(2) 若 $BC = 2$，求 $AF$ 的长为$\sqrt{3}$.

答案：
(1) 证明：
∵ D，E分别是AB，AC的中点，
∴ DE // BC，且DE = $\frac{1}{2}BC$。又CF = $\frac{1}{2}BC$，
∴ DE = CF，
∴ 四边形CDEF是平行四边形。
∵ ∠CAB = ∠B = 30°，
∴ ∠ACF = 60°，
∴ ∠CED = 60°。
∵ DE = $\frac{1}{2}BC$，CE = $\frac{1}{2}AC$，BC = AC，
∴ DE = CE，
∴ △DEC是等边三角形，
∴ DE = DC，
∴ 平行四边形CDEF为菱形。
(2)
∵ 平行四边形CDEF为菱形，
∴ DE = EF = FC = CD。
∵ △DEC是等边三角形，
∴ DE = EC = CD，
∴ EF = FC = EC。
∵ AE = EC，
∴ AE = EF = EC。
∵ ∠CEF = 60°，
∴ ∠EAF = ∠EFA = 30°，
∴ ∠AFC = 90°。
∵ CF = $\frac{1}{2}BC = 1$，
∴ AF = $\sqrt{3}CF = \sqrt{3}$。

13. 如图 1，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，$AE$ 为过点 $A$ 的一条直线，且点 $B$，$C$ 在 $AE$ 的异侧，$BD \perp AE$ 于点 $D$，$CE \perp AE$ 于点 $E$.

(1) 试说明：$BD = DE + CE$.
解：因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle BAD+\angle CAE = 90^{\circ}$。又因为$BD\perp AE$，$CE\perp AE$，所以$\angle ADB=\angle AEC = 90^{\circ}$，$\angle BAD+\angle ABD = 90^{\circ}$，则$\angle ABD=\angle CAE$。在$\triangle ABD$和$\triangle CAE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ADB=\angle AEC\\\angle ABD=\angle CAE\\AB = AC\end{array}\right.$。根据AAS（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABD\cong\triangle CAE$。所以AD = CE，BD = AE。因为$AE=AD + DE$，所以$BD=DE + CE$。
(2) 若直线 $AE$ 绕 $A$ 点旋转到图 2 位置 ($BD ＜ CE$)，其余条件不变，$BD$ 与 $DE$，$CE$ 的关系如何？请予以说明.
解：因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle BAD+\angle CAE = 90^{\circ}$。又因为$BD\perp AE$，$CE\perp AE$，所以$\angle ADB=\angle AEC = 90^{\circ}$，$\angle BAD+\angle ABD = 90^{\circ}$，则$\angle ABD=\angle CAE$。在$\triangle ABD$和$\triangle CAE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ADB=\angle AEC\\\angle ABD=\angle CAE\\AB = AC\end{array}\right.$。根据AAS，可得$\triangle ABD\cong\triangle CAE$。所以AD = CE，BD = AE。因为$AD=AE + DE$，所以$CE=BD + DE$，即BD=DE - CE。
(3) 若直线 $AE$ 绕 $A$ 点旋转到图 3 位置 ($BD ＞ CE$)，其余条件不变，$BD$ 与 $DE$，$CE$ 的关系怎样？请直接写出结果，不需要说明理由.
答：BD = CE - DE
(4) 归纳(1)(2)(3)，请用简洁的语言表述 $BD$，$DE$，$CE$ 之间的关系.
答：当$B$，$C$在$AE$异侧时，$BD = DE\pm CE$（当$BD\gt CE$时取“$-$”，当$BD\lt CE$时取“$+$”）；当$B$，$C$在$AE$同侧时，$BD=\vert DE - CE\vert$

答案： 1. （1）
解：
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle BAD+\angle CAE = 90^{\circ}$。
又因为$BD\perp AE$，$CE\perp AE$，所以$\angle ADB=\angle AEC = 90^{\circ}$，$\angle BAD+\angle ABD = 90^{\circ}$，则$\angle ABD=\angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CAE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ADB=\angle AEC\\\angle ABD=\angle CAE\\AB = AC\end{array}\right.$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABD\cong\triangle CAE$。
所以$AD = CE$，$BD = AE$。
因为$AE=AD + DE$，所以$BD=DE + CE$。
2. （2）
解：
因为$\angle BAC = 90^{\circ}$，所以$\angle BAD+\angle CAE = 90^{\circ}$。
又因为$BD\perp AE$，$CE\perp AE$，所以$\angle ADB=\angle AEC = 90^{\circ}$，$\angle BAD+\angle ABD = 90^{\circ}$，则$\angle ABD=\angle CAE$。
在$\triangle ABD$和$\triangle CAE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ADB=\angle AEC\\\angle ABD=\angle CAE\\AB = AC\end{array}\right.$。
根据$AAS$，可得$\triangle ABD\cong\triangle CAE$。
所以$AD = CE$，$BD = AE$。
因为$AD=AE + DE$，所以$CE=BD + DE$，即$BD=DE - CE$。
3. （3）
$BD = CE - DE$。
4. （4）
当$B$，$C$在$AE$异侧时，$BD = DE\pm CE$（当$BD\gt CE$时取“$-$”，当$BD\lt CE$时取“$+$”）；当$B$，$C$在$AE$同侧时，$BD=\vert DE - CE\vert$。