《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

12. 操作与探究：
(1) 图 1 是由 5 个边长为 1 的正方形组成的，把它按图中的分割方法分割成五部分后，可拼接成一个面积为 5 的大正方形(内部的粗实线表示分割线)，请你在图 2 的网格中画出拼接成的大正方形，并在大正方形内部标注出五部分的序号；
(2) 如图，如果设(1) 中分割成的直角三角形的两直角边长分别为 $a$，$b$，斜边长为 $c$，请你利用图 2 中拼成的大正方形证明勾股定理.

答案：

(1) 如图所示即为拼接成的大正方形.

(2) $ S_{大正方形} = 4 \times \frac{1}{2}ab + (b - a)^2 = 2ab + b^2 - 2ab + a^2 = a^2 + b^2 $，而 $ S_{大正方形} = c^2 $，$ \therefore a^2 + b^2 = c^2 $.

13. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$BD$，$CE$ 相交于点 $F$，在以下几个条件中选择若干个条件作为题设，另一个条件作为结论，组合成一个真命题，并写出证明.
① $\angle A=\alpha$；② $BD$，$CE$ 分别是 $\angle ABC$，$\angle ACB$ 的平分线；③ $BD$，$CE$ 是 $\triangle ABC$ 的两条高；④ $\angle BFC = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha$；⑤ $\angle BFC = 180^{\circ}-\alpha$.
**题设**：①②；**结论**：④.
**证明**：
因为$BD$，$CE$分别是$\angle ABC$，$\angle ACB$的平分线，所以$\angle FBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle FCB=\frac{1}{2}\angle ACB$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，则$\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle A = 180^{\circ}-\alpha$。
在$\triangle FBC$中，根据三角形内角和定理$\angle BFC + \angle FBC+\angle FCB=180^{\circ}$，将$\angle FBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle FCB=\frac{1}{2}\angle ACB$代入可得：
$\angle BFC=180^{\circ}-(\angle FBC + \angle FCB)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)$。
把$\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\alpha$代入上式得：$\angle BFC=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha$。
或
**题设**：①③；**结论**：⑤.
**证明**：
因为$BD$，$CE$是$\triangle ABC$的两条高，所以$\angle BEC=\angle BDC = 90^{\circ}$。
在四边形$AEFD$中，根据四边形内角和为$360^{\circ}$，可得$\angle A+\angle EFD + \angle BEC+\angle BDC=360^{\circ}$。
又因为$\angle BFC=\angle EFD$（对顶角相等），$\angle BEC=\angle BDC = 90^{\circ}$，$\angle A=\alpha$，所以$\alpha+\angle BFC+90^{\circ}+90^{\circ}=360^{\circ}$。
移项可得$\angle BFC=180^{\circ}-\alpha$。

答案： 方案一
- **题设**：①②；**结论**：④。
- **证明**：
因为$BD$，$CE$分别是$\angle ABC$，$\angle ACB$的平分线，所以$\angle FBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle FCB=\frac{1}{2}\angle ACB$。
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}$，则$\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle A = 180^{\circ}-\alpha$。
在$\triangle FBC$中，根据三角形内角和定理$\angle BFC + \angle FBC+\angle FCB=180^{\circ}$，将$\angle FBC=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle FCB=\frac{1}{2}\angle ACB$代入可得：
$\angle BFC=180^{\circ}-(\angle FBC + \angle FCB)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle ACB)$。
把$\angle ABC+\angle ACB = 180^{\circ}-\alpha$代入上式得：$\angle BFC=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\alpha$。
方案二
题设**：①③；**结论**：⑤。
证明**：
因为$BD$，$CE$是$\triangle ABC$的两条高，所以$\angle BEC=\angle BDC = 90^{\circ}$。
在四边形$AEFD$中，根据四边形内角和为$360^{\circ}$，可得$\angle A+\angle EFD + \angle BEC+\angle BDC=360^{\circ}$。
又因为$\angle BFC=\angle EFD$（对顶角相等），$\angle BEC=\angle BDC = 90^{\circ}$，$\angle A=\alpha$，所以$\alpha+\angle BFC+90^{\circ}+90^{\circ}=360^{\circ}$。
移项可得$\angle BFC=180^{\circ}-\alpha$。
综上，可组合成如上述两种真命题（答案不唯一）。