《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

6. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，$AF=EC$.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形.这个条件可以是______AE=EC(写一个即可).

答案： 6. 答案不唯一,如 $ AE = EC $

7. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程$x^{2}-10x+m=0$的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为$\sqrt{14}$.

答案： 7. $ \sqrt{14} $

8. 如下左图，在$△ABC$中，BD，CE是中线，$BD⊥CE$于点O，点M，N分别是OB，OC的中点.若$OB=8,OC=6$，则四边形DEMN的周长是20cm.

答案： 8. 20

9. 如上右图，在菱形ABCD中，$∠B=60^{\circ }$，E是BC的中点，连接AE，DE.点F是DE上一动点，G为AF的中点，连接CG.

(1)$∠BAE=$______；
(2)若$AB=2$，则CG的最小值为______.

答案：
9.
(1) $ 30^{\circ} $
(2) $ \frac{2\sqrt{21}}{7} $ [提示:
(1)如图 1,连接 AC,
∵ 四边形 ABCD 为菱形, $ \therefore AB = BC $, $ \because \angle B = 60^{\circ} $, $ \therefore \triangle ABC $ 为等边三角形, $ \therefore \angle BAC = 60^{\circ} $.
∵ 点 E 是 BC 的中点, $ \therefore AE $ 平分 $ \angle BAC $, $ \therefore \angle BAE = \frac{1}{2}\angle BAC = 30^{\circ} $.
(2)如图 2,设 AD 的中点为 T,AE 的中点为 H,连接 GT,GH,CH,CT,AC.过点 C 作 $ CK \perp GH $ 于点 K,
∵ 点 G 为 AF 的中点, $ \therefore GT $ 为 $ \triangle ADF $ 的中位线,GH 为 $ \triangle AEF $ 的中位线, $ \therefore GT // DE $, $ GH // DE $, $ \therefore $ 点 T,G,H 在同一条直线上.当点 F 在 DE 上运动时,点 G 在 TH 上运动,根据垂线段最短,得当点 G 与点 K 重合时,CG 最短,即最短距离为线段 CK 的长.
∵ 四边形 ABCD 为菱形, $ AB = 2 $, $ \angle B = 60^{\circ} $, $ \therefore AB = BC = CD = AD = 2 $, $ \angle B = \angle ADC = 60^{\circ} $, $ AD // BC $, $ \therefore \triangle ABC $ 和 $ \triangle ADC $ 均为等边三角形.
∵ 点 E 为 BC 的中点,点 T 为 AD 的中点, $ \therefore AE \perp BC $, $ CT \perp AD $, $ BE = CE = 1 $, $ AT = DT = 1 $, $ \therefore AE \perp AD $, $ CT \perp BC $, $ \therefore $ 四边形 AECT 为矩形, $ \therefore AE = CT $, $ AT = CE = 1 $.在 $ Rt\triangle ABE $ 中,由勾股定理,得 $ AE = \sqrt{AB^{2} - BE^{2}} = \sqrt{3} $, $ \therefore CT = AE = \sqrt{3} $.
∵ 点 H 为 AE 的中点, $ \therefore AH = \frac{1}{2}AE = \frac{\sqrt{3}}{2} $.在 $ Rt\triangle AHT $ 中,由勾股定理,得 $ TH = \sqrt{AH^{2} + AT^{2}} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} + 1^{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2} $.由三角形的面积公式,得 $ S_{\triangle CHT} = \frac{1}{2}TH \cdot CK = \frac{1}{2}CT \cdot CE $,即 $ \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{7}}{2} \times CK = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times 1 $, $ \therefore CK = \frac{2\sqrt{21}}{7} $, $ \therefore CG $ 的最小值为 $ \frac{2\sqrt{21}}{7} $.]

10. 如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得$AE=CF$.连接DE，DF，BE，BF.求证：四边形BEDF是菱形.


证明:如右图,连接 BD,交 AC 于点 O,∵ 四边形 ABCD 是菱形, $ \therefore OA = OC $, $ OB = OD $, $ AC \perp BD $.∵ $ AE = CF $, $ \therefore $OE = OF, $ \therefore $ 四边形 BEDF 是平行四边形.∵ EF ⊥ BD, $ \therefore $ 四边形 BEDF 是菱形.

答案： 10. 证明:如右图,连接 BD,交 AC 于点 O,
∵ 四边形 ABCD 是菱形, $ \therefore OA = OC $, $ OB = OD $, $ AC \perp BD $.
∵ $ AE = CF $, $ \therefore OE = OF $, $ \therefore $ 四边形 BEDF 是平行四边形.
∵ $ EF \perp BD $, $ \therefore $ 四边形 BEDF 是菱形.