《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

7. 如下左图，在 $□ ABCD$ 中，$AB = 10$，$AD = 6$，$AC \perp BC$，则 $BD =$$4\sqrt{13}$.

答案： $4\sqrt{13}$

8. 如下中图，在正六边形 $ABCDEF$ 中，$M$，$N$ 是对角线 $BE$ 上的两点.添加下列条件中的一个：① $BM = EN$；② $\angle FAN = \angle CDM$；③ $AM = DN$；④ $\angle AMB = \angle DNE$.能使四边形 $AMDN$ 是平行四边形的是①②④.(填序号)

答案： ①②④

9. 如上右图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 8$，$BC = 5$，点 $E$ 是边 $AB$ 上的一动点，连接 $EC$，并以 $EC$ 为直角边作等腰直角三角形，其中 $\angle CEF = 90^{\circ}$.

(1) 当点 $F$ 正好在边 $AD$ 上时，$AF =$；
(2) 当点 $E$ 在边 $AB$ 上运动时，$AF$ 的最小值等于.

答案：
$3;\frac{3\sqrt{2}}{2}$ [提示:　
(1)如图，　当点F在边AD上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A = ∠B = 90°。
∵∠CEF = 90°，
∴∠1 + ∠2 = 90°。又∠2 + ∠3 = 90°，
∴∠1 = ∠3。
∵CE = EF，∠1 = ∠3，∠A = ∠B = 90°，
∴△AEF≌△BCE(AAS)，
∴AE = BC = 5，
∴AF = BE = AB - AE = 8 - 5 = 3。　
(2)当点E在边AB上运动时，如图，过点F作FH⊥AB，交AB于 点H，
∵∠CEF = 90°，
∴∠1 + ∠2 = 90°。又∠2 + ∠3 = 90°，
∴∠1 = ∠3。
∵CE = EF，∠1 = ∠3，∠FHE = ∠B = 90°，
∴△HEF≌△BCE(AAS)，
∴FH = BE，EH = CB = 5。设FH = BE = x，则AH = AB - EH - BE = 8 - 5 - x = 3 - x。在Rt△AFH中，AF² = AH² + FH² = (3 - x)² + x² = 2x² - 6x + 9 = 2(x - $\frac{3}{2}$)² + $\frac{9}{2}$，当x = $\frac{3}{2}$时，AF²最小，最小值为 $\frac{9}{2}$，故AF的最小值为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$。]

10. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$AD = 3$，$CD = 2$.连接 $AC$，过点 $B$ 作 $BE // AC$，交 $DC$ 的延长线于点 $E$，连接 $AE$，交 $BC$ 于点 $F$，若 $\angle AFC = 2\angle D$，求四边形 $ABEC$ 的面积.

$2\sqrt{5}$

答案： $2\sqrt{5}$（提示：先证明四边形ABEC是平行四边形，再证明AF = FE = FC = BF，从而得到四边形ABEC是矩形，由勾股定理，得AC = $\sqrt{BC^{2} - AB^{2}} = \sqrt{5}$，
∴ 矩形ABEC的面积为AB × AC = 2$\sqrt{5}$。）

11. 如图，平行四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$，$F$ 在对角线 $BD$ 上，且 $BE = EF = FD$，连接 $AE$，$EC$，$CF$，$FA$.
(1) 求证：四边形 $AECF$ 是平行四边形；
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA = OC，OB = OD。∵ BE = FD，∴ OB - BE = OD - FD，即OE = OF，∴ 四边形AECF是平行四边形。
(2) 若 $\triangle ABE$ 的面积等于 $2$，求 $\triangle CFO$ 的面积.
解：∵ $S_{△ABE} = 2$，BE = EF，∴ $S_{△ABE} = S_{△AEF} = 2$。∵ 四边形AECF是平行四边形，∴ OF = OE，∴ $S_{△CFO} = \frac{1}{2}S_{△CEF} = \frac{1}{2}S_{△AEF} = \frac{1}{2} × 2 = $1。

答案：
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD。
∵ BE = FD，
∴ OB - BE = OD - FD，即OE = OF，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
(2)
∵ $S_{△ABE} = 2$，BE = EF，
∴ $S_{△ABE} = S_{△AEF} = 2$。
∵ 四边形AECF是平行四边形，
∴ OF = OE，
∴ $S_{△CFO} = \frac{1}{2}S_{△CEF} = \frac{1}{2}S_{△AEF} = \frac{1}{2} × 2 = 1$。