《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

12. 蜂巢的结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点$P$，$Q$，$M$均为正六边形的顶点.若点$P$，$Q$的坐标分别为$(-2\sqrt {3},3)$，$(0,-3)$，求点$M$的坐标.

答案：
12. 如图，连接 PF，设正六边形的边长为 a.
∵∠ABC = 120°,
∴∠ABO = 60°.又∠AOB = 90°,
∴∠BAO = 30°.
∴OB = $\frac{1}{2}a$, OA = $\frac{\sqrt{3}}{2}a$.

∴AC = CE = $\sqrt{3}a$, OF = OB + BF = $\frac{3}{2}a$.
∵点 P 的坐标为(-2$\sqrt{3}$, 3),
∴$\frac{3}{2}a$ = 3, 即 a = 2.
∴OE = OC + CE = $\frac{3\sqrt{3}a}{2}$ = 3$\sqrt{3}$, EM = 2,
∴点 M 的坐标为(3$\sqrt{3}$, -2).

13. 如图，菱形$ABCD$的边长为 4，$∠ABC=60^{\circ }$，点$E$是$CD$的中点，点$M$是$AC$上一动点，求$MD+ME$的最小值.

答案：
13. 如图，连接 BD, BE, BE 与 AC 交于点 M,过点 E 作 EG⊥BC,交 BC 的延长线于点 G.

∵四边形 ABCD 是菱形,
∴B 点与 D 点关于 AC 对称,
∴BM = DM,
∴MD + ME = BM + ME = BE.
∵BC = 4, 点 E 是 CD 的中点,
∴CE = 2.
∵∠ABC = 60°,
∴∠ECG = 60°. 在 Rt△CEG 中, CE = 2, ∠ECG = 60°,
∴CG = 1, EG = $\sqrt{3}$. 在 Rt△BEG 中, BG = 5, EG = $\sqrt{3}$,
∴BE = 2$\sqrt{7}$,
∴MD + ME 的最小值为 2$\sqrt{7}$.