《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

12. 太原武宿国际机场简称“太原机场”. 游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择. 路线一：走迎宾路经太榆路全程是 $ 25 \text{ km} $，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是 $ 30 \text{ km} $，平均速度是路线一的 $ \frac{5}{3} $ 倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用 $ 7 \text{ min} $，求走路线一到达太原机场需要多长时间.

答案： 设走路线一到达太原机场需要 $ x $ min. 根据题意，得 $ \frac { 5 } { 3 } \times \frac { 25 } { x } = \frac { 30 } { x - 7 } $. 解得 $ x = 25 $. 经检验，$ x = 25 $ 是原方程的解. 答：走路线一到达太原机场需要 25 min.

13. 阅读下列材料：
关于 $ x $ 的分式方程 $ x + \frac{1}{x} = c + \frac{1}{c} $ 的解是 $ x_{1} = c $，$ x_{2} = \frac{1}{c} $；
$ x - \frac{1}{x} = c - \frac{1}{c} $，即 $ x + \frac{- 1}{x} = c + \frac{- 1}{c} $ 的解是 $ x_{1} = c $，$ x_{2} = - \frac{1}{c} $；
$ x + \frac{2}{x} = c + \frac{2}{c} $ 的解是 $ x_{1} = c $，$ x_{2} = \frac{2}{c} $；
$ x + \frac{3}{x} = c + \frac{3}{c} $ 的解是 $ x_{1} = c $，$ x_{2} = \frac{3}{c} $.
(1) 观察上述方程与解的特征，可猜想关于 $ x $ 的方程 $ x + \frac{5}{x} = c + \frac{5}{c} $ 的解是 ______$ x_{1}=c $，$ x_{2}=\frac{5}{c} $.
(2) 观察上述方程与解的特征，可猜想关于 $ x $ 的方程 $ x + \frac{m}{x} = c + \frac{m}{c} ( m \neq 0 ) $ 的解是 ______$ x_{1}=c $，$ x_{2}=\frac{m}{c} $.
(3) 请你利用(2) 的猜想，解关于 $ x $ 的方程：$ x + \frac{2}{x - 1} = a + \frac{2}{a - 1} $.
$\because x + \frac{2}{x - 1} = a + \frac{2}{a - 1}$，$\therefore x - 1 + \frac{2}{x - 1} = a - 1 + \frac{2}{a - 1}$，由(2)得 $x_{1} - 1 = a - 1$，$x_{2} - 1 = \frac{2}{a - 1}$，解得 $x_{1}=a$，$x_{2}=\frac{a + 1}{a - 1}$. 经检验，$x_{1}=a$，$x_{2}=\frac{a + 1}{a - 1}$都是原分式方程的解.

答案：
(1) $ x _ { 1 } = c $，$ x _ { 2 } = \frac { 5 } { c } $
(2) $ x _ { 1 } = c $，$ x _ { 2 } = \frac { m } { c } $
(3) $ \because x + \frac { 2 } { x - 1 } = a + \frac { 2 } { a - 1 } $，$ \therefore x - 1 + \frac { 2 } { x - 1 } = a - 1 + \frac { 2 } { a - 1 } $，由
(2)得 $ x _ { 1 } - 1 = a - 1 $，$ x _ { 2 } - 1 = \frac { 2 } { a - 1 } $，解得 $ x _ { 1 } = a $，$ x _ { 2 } = \frac { a + 1 } { a - 1 } $. 经检验，$ x _ { 1 } = a $，$ x _ { 2 } = \frac { a + 1 } { a - 1 } $ 都是原分式方程的解.