《2025年快乐暑假黄山书社八年级数学沪科版》

11. 如图,在边长为6的正方形ABCD中,M为对角线BD上的一点,连接AM并延长交CD于点P,若$PM = PC$,求AM的长.

答案：
如图，以点 B 为原点，BC，BA 所在的直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，由正方形的边长为 6，可知 A(0,6)，D(6,6)，C(6,0)，直线 BD 的解析式为 y = x. 设 M(m,m)，得直线 AM 的解析式为 $y=\frac{m - 6}{m}x + 6$，$\therefore P(6,\frac{12m - 36}{m})$. 由 PM = PC，有 $(m - 6)^2 + (m - \frac{12m - 36}{m})^2 = (\frac{12m - 36}{m})^2$，解得 $m = 9 + 3\sqrt{3}$（不符合题意，舍去）或 $m = 9 - 3\sqrt{3}$. 故 $M(9 - 3\sqrt{3},9 - 3\sqrt{3})$，从而求出 $AM = 6(\sqrt{3} - 1)$.

12. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD\perp BC$,垂足为点D,$BD = CD$,延长BC至点E,使得$CE = CA$,连接AE.
(1) 求证:$\angle B = \angle ACB$;
(2) 若$AB = 5$,$AD = 4$,求$\triangle ABE$的周长和面积.

(1) 证明：
因为$AD\perp BC$，所以$\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\\angle ADB=\angle ADC\\AD = AD\end{array}\right.$。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
由全等三角形的性质可知$\angle B=\angle ACB$。
(2) $\triangle ABE$的周长为21，面积为22。

答案： 1. （1）证明：
因为$AD\perp BC$，所以$\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，$\left\{\begin{array}{l}BD = CD\\\angle ADB=\angle ADC\\AD = AD\end{array}\right.$。
根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
由全等三角形的性质可知$\angle B=\angle ACB$。
2. （2）
①求$BD$的长度：
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$c = AB$，$a = AD$，$b = BD$），已知$AB = 5$，$AD = 4$，则$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}$。
把$AB = 5$，$AD = 4$代入可得$BD=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=\sqrt{25 - 16}=\sqrt{9}=3$。
②求$BC$，$AC$，$CE$的长度：
因为$BD = CD = 3$，所以$BC=BD + CD=6$。
又因为$\triangle ABD\cong\triangle ACD$，所以$AC = AB = 5$，而$CE = CA$，所以$CE = 5$。
$BE=BC + CE=6 + 5=11$。
③求$AE$的长度：
因为$\angle ACB=\angle CAE+\angle E$，且$\angle B=\angle ACB$，$CE = CA$，所以$\angle B=\angle E$，则$AE = AB = 5$。
④求$\triangle ABE$的周长：
$C_{\triangle ABE}=AB + BE+AE$，把$AB = 5$，$BE = 11$，$AE = 5$代入可得$C_{\triangle ABE}=5 + 11+5=21$。
⑤求$\triangle ABE$的面积：
$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}\times BE\times AD$，把$BE = 11$，$AD = 4$代入可得$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}\times11\times4 = 22$。
综上，（1）已证$\angle B=\angle ACB$；（2）$\triangle ABE$的周长为$21$，面积为$22$。